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人之病札记65

已有 2826 次阅读 2023-5-9 22:56 |个人分类:教学行思|系统分类:教学心得

春季博士生的“非线性动力学”开始了。选课人数不到10人，开始有些旁听的，教室里多于10人。后来就没有了。上一轮是线上进行，现在可以线下了。因为有长假调休，周末有课，但已安排了参加会议，需要把周末的课调走。因此第一周连续3天有课。后来又调了次课，随后一周还是连续3天有课。

之前酝酿新开“高等动力学”，两门课程协调，内容需要调整。但这次还是沿用过去的大纲。上课前又改遍PPT，主要是形式方面，估计以后不需要改了。引论课是新准备的PPT，以前还没有讲过。

第一次课前一学时讲非线性动力学的导论，主要是解释为什么要学习非线性动力学；后一学时是稳定性理论的概论。我现在觉得，没有题目可以做的内容更需要讲解，能用于作题的其实都可以自己看。因此这种引言、导论等才需要重点讲解。极端情况，讲得好了，学生有兴趣，自己就往下学了。或许这也是申报国家级一流课程时需要“说课”的录像资料。

第二次课出了小意外。到教室发现U盘忘记带了，我准备2给U盘，但一个都没有带。好在现在技术发达，我给一起上课的青年老师留个言，他就传给我一份。虽然PPT没有反映本轮修改，但也聊胜于无。这次讲Lyapunov稳定性的概念，在对比中也讲了Poincaré的轨道稳定性，可能在分岔部分还要讲到。稍有些特色的或许要算对吸引性的解释，这样渐近稳定性就是同时具有稳定性和吸引性，并解释吸引性并不能保证稳定性。还有时间，又通过例子说说稳定性定理的思路，所谓Lyapunov函数，可能就是机械能的推广。具体的陈述和证明下次再说。

第三次课就是重点讲稳定、渐近稳定和不稳定的三个定理包括证明，只讨论定常系统，并举例说明应用。除了说明性的摆和倒摆这样说明性的基本例题以及阻尼振子说明Lyapunov函数选择的技巧性，还证明了自由刚体永久运动的长轴或短轴稳定性，以及保守系统机械能取孤立极小值的平衡点稳定。最后复习常系数线性常微分方程，并说明稳定性与特征值的关系。

第四和五次课是常系数线性系统稳定性、Lyapunov一次近似方法和Kelvin-Tait-Chetayev定理。一次近似理论给出了证明的思路，但没有讨论最一般的情况，以避免过多的矩阵相似变换标准型的讨论。Kelvin-Tait-Chetayev定理中保守系统加阻尼的情形用Lyapunov直接方法证明，更复杂的有陀螺项的情形只通过一个2自由度系统的例子讨论。这些都是很成熟的内容。如果说稍有新意的话，那就是通过定理和反例，强调了所讲的都只限于定常系统，不能直接用于非定常系统。

这部分结束时，帮学生总结一下，以期有“从厚到薄”的效果。也向学生说明，另外两部分的总结要他们自己进行了。

每次课留2分钟提问题。几乎没有问题。说“几乎”就是还有例外。从逻辑上分析，没有问题可能是讲得太清楚了或者太不清楚了。当然，更可能的原因是非逻辑的，就是学生懒得开口提问。