直观性是时间与个人能力的二元函数。数学家早已公认严密性是时间的函数，但亦与个人素质有关。兼得Fields和Wolf的Kodaire攻读数学基础时却仅勉强懂了Goedel’s incompleteness theorem或始终弄不懂Cohen’s forcing method。同样，直观亦是随时变化因人而异。

直观性作为数学中的一种“潜结构”需要一种补结构，只有这样才能在对立两极之间产生“必要的张力”。Hilbert在《直观几何》中开宗明义便提出两种方法，抽象(提炼逻辑关系)和直观(领会生动形象)。值得注意的是，强调“抽象”的大师们都不敢忽视直观，连倾向于否定geometric intuition的Dieudonné都承认intuition of the abstract。但强调“直观”的大师们则不很欣赏“抽象”。但我觉得他们同样需要“补结构”，只不过不是数学方面，而是哲学方面。如Poincaré写过Foundations of Science，Weyl写过Philosophy of Mathematics and Natural Science。或许也是他们本身的抽象能力惊人之强，以至于他们反倒不知道了。如Neumann虽以应用方面的工作见长，但其早期的研究是相当抽象。

从个人学习数学的途径看，大概是：直观-抽象-直观的模式，符合辩证法的正-反-合或禅宗的“山就是山-山不是山-山还是山”的一般模式。不应忽视，经过抽象的直观与一开始的直观不可同日而语。

抽象的方式是一种传授本质上直观的数学知识的有效手段。如《庄子》中的“得鱼忘筌”“得意忘言”，抽象是“筌”是“言”，而直观是“鱼”是“意”。或如佛经中“以手指月”之喻，直观是“月”而抽象是“手”。

直观有直观之美，抽象有抽象之美。前者如大海之起伏、火焰之摇曳，后者如月光之普照、珠宝之闪烁。