一、课程概述

本课程介绍研究非线性系统动力学问题的主要研究方法，以及通过这些方法发现的非线性动力学现象及其内在规律。

本课程将引导研究生在了解高等动力学、连续介质力学等基础课程所涉及的非线性问题基础上，掌握分析非线性动力学问题的主要方法，建立对常见非线性动力学现象及其内在规律的认识，为阅读非线性动力学领域的文献和从事相关研究奠定学术基础。

本课程的授课时间和课堂讨论时间不少于60学时。

二、先修课程

常微分方程，线性代数，振动力学，高等动力学

三、课程目标

了解力学系统的非线性因素和由此产生的非线性动力学现象，掌握分析非线性系统动力学的主要解析方法和数值方法，能对较为简单的非线性系统平衡点和周期运动进行稳定性和分岔分析，能对系统动力学数值计算中出现的非线性现象进行分析和解释。

四、适用对象

力学一级学科的博士研究生，动力学与控制二级学科的硕士研究生。

五、授课方式

1. 课堂教学

教师讲授70%左右的内容，安排研究生自学30%左右的内容并开展课堂研讨。讲授基本理论和分析方法时，以板书推导和讲解为主；讲授课程背景、发展历史和各种非线性现象(如自激振动、动态分岔、混沌运动等)时，以视频展示为主。

2. 课外训练

安排研究生完成20道左右巩固基本概念、掌握主要方法、引发继续思考的习题；安排研究生用Maple/MATLAB软件进行理论推导/数值计算；完成1个具有应用背景的综合性大作业。

六、课程内容

1. 主要内容

(1) 非线性系统的概念与建模：系统非线性及其分类，基于理论力学、分析力学、材料力学、弹性力学的建模方法，基于模型辨识、参数估计的实验建模方法。

(2) 解析分析方法：平衡点的稳定性分析，保守系统的分析，非保守系统的分析；直接摄动法，Lindstedt-Poincaré摄动法，平均法，多尺度法，Garlerkin法、谐波平衡法，增量谐波平衡法。

(3) 数值分析方法：瞬态运动(单步法、多步法)计算，稳态运动计算(平衡点、周期运动)，局部分叉计算(分岔点确定、参数延续算法)，全局特性计算（胞映射、不变流形计算），混沌的统计分析(Lyapunov指数，分形与分数维)，实验数据的非线性动力学建模。

(4) 单自由度系统振动： Duffing系统的自由振动，Duffing系统在简谐激励下的主共振、亚谐共振、超谐共振、组合共振，van der Pol系统的自激振动、van der Pol系统在简谐激励下的振动，线性时变系统的参激振动，非线性时变系统的参激振动。

(5) 多自由度系统振动：平方非线性系统的内共振，陀螺力对内共振的影响，平方非线性系统在简谐激励下的振动，时变系统的参激振动，连续系统振动的离散分析和直接分析。

(6) 运动稳定性与分叉：自治系统平衡点的稳定性分析（Lyapunov方法，Hurwitz方法），非自治系统平衡点的稳定性，自治系统向量场在平衡点处的规范型，周期运动的稳定性，平衡点的静态分叉，平衡点的动态分叉(Hopf分岔及其类型)，周期运动的分叉(鞍结分岔，倍周期分岔，Naimark-Sacker分岔)。

(7) 混沌运动及其控制：包括混沌现象及其基本特征，离散动力系统(一维映射、高维映射)的混沌，连续动力系统的混沌，保守系统的混沌，Melnikov方法，混沌控制方法。

(8) 课程总结：非线性动力学的发展历史，主要研究方法的思路，重要科学发现的启示，值得研究的若干问题等。

2. 课程重点

非线性动力系统的平衡点的稳定性与分岔、周期振动的稳定性与分岔，混沌运动及其控制，非线性系统的解析分析方法和数值分析方法。

3. 课程难点

非线性系统的稳定性，系统向量场在平衡点处的规范型，系统平衡点的动态分岔，系统周期运动的分岔，Melnikov方法。

七、考核要求

1. 考核方式

开卷考试或独立完成大作业。

2. 考核标准

对于开卷考试，其内容和难度应证实研究生已掌握本课程的重点内容，能用解析方法分析较为简单的非线性动力学问题；对于独立完成大作业，其内容和难度还应证实研究生已掌握数值计算方法，并具有分析数值计算结果的能力。

八、编写成员名单

胡海岩(北京理工大学)、陈立群(上海大学)、金栋平(南京航空航天大学)

公布于：《学术学位研究生核心课程指南(二)(试行)》(高等教育出版社, 2020): 11-13