刘延柱先生的《振动力学》教材，包括非线性振动是其特点。但很多时候，教师往往略去相关的内容。其实我觉得讲点儿非线性还是有必要，即使单纯为了更好地理解线性振动也是如此。在比较对照中，会有新的认识。

丁虎教授主讲的《振动力学》课，正在建设上海市重点课程。有两学时的非线性振动内容，由我来讲。过去在境内外的一些大学讲过一个学时的非线性振动引论，虽然是述而不作，但听讲的学生反馈还可以。最近也有些利用非线性进行减振隔振的工作，有实验，比较直观，也可以给本科生介绍。因此基本设想是基础部分讲一小时，应用专题部分讲半小时，形成两学时的专题性内容《非线性振动及其在减振隔振中应用》

课程以引言性的《非线性与非线性振动》开场。非线性这个概念，知道的觉得显而易见，但也真有不知道的。面试博士生时，有考生认为y=x²是非线性，而y=x³是线性，满座皆惊。教学中简要说明在机电领域非线性的各种可能来源。

非线性振动分析的基本方法谐波平衡法，从Duffing振子的个案分析开始，然后描述周期受迫单自由度振子较为一般的形式。

非线性振动的典型现象是重点，受迫振动现象包括软硬特性、跳跃、超谐响应、亚谐响应，自激振动现象及其相关的极限环概念和张弛振动，多自由度系统的内共振及其饱和和双跳跃。

非线性在减振隔振中应用是新整理进入课程的材料，基于课题组在国际主流期刊JVA和MSSP上的论文。非线性消振讲的是整星缩比模型非线性能量汇减振实验及其仿真和建模，Nonlinear energy sink for whole-spacecraft vibration reduction。非线性隔振讲的是圆环隔振器及其原理建模和谐波平衡分析，建模部分和分析结果与Nonlinear vibration isolation via a circular ring相同，但方法改用谐波平衡法。

这两个例子，在“温故”方面，主要是通过引入非线性改进消振和隔振突出前面学过线性消振还隔振的局限，从而更全面地理解消振和隔振。“知新”方面，强调建模的思想，另个工作分别是等效简化和原理建模两种思路的代表。特别是圆环的刚度，是包括椭圆函数的非常复杂的数学表达式，但与静力实验吻合很好。在或许就是诺贝尔奖得主维格纳(Eugene Paul Wigner, 1902-1995)与图灵奖得主汉明(Richard Wesley Hamming, 1915-1998)所讨论的 “the unreasonable effectiveness of mathematics”。不知道学生感受如何，我是有几分“景仰和敬畏”，就是康德常被引用仰望星空名言中的Bewunderung und Ehrfurcht。

这样，除引言和总结外，正文包括5部分内容，分别是方法、现象和应用。提纲、一个样片和总结见下列截图。

这个课程的设计也是受业界大牛的本科生研究型教程启发，用研究工作充实教学内容。在更广泛意义上，教学内容的更新重在实践，在探索中调整优化。故步自封抱残守缺，总是有更充分的理由。change, 重行不重言。