教材是教学内容的核心载体，也是学习资料的主要来源，因此在教学中起着重要作用。教材研究有助于优化教学内容，提高教学质量。[1]和[2]对国内外的振动教材进行了阐述和分析，但国外教材主要限于英美教材，没有涉及欧洲教材。事实上，德国的高等工程教育模式也有值得借鉴之处^[3]。笔者在[4]中介绍了一部马格努斯的《振动》，为德国的经典振动教材，特点是统一处理线性振动和非线性振动。如[1]所述，目前还有很多学校只讲线性振动，因此有必要考察德国教材对线性振动的处理。本文分析了三部出自知名学者之手的线性振动教材。为提供相关背景知识，也作为文[1]和[2]的补充，先概述英国、美国和德国振动力学教材的早期历史。这些教材的选材和处理，对振动力学的教材建设、课程建设和教学改革等，均有一定参考价值。

1振动教材的早期历史

在不同的历史发展阶段，振动教材具有迥异的风格。早期的教材是体大虑周的专论，所谓“百科全书式”的教材^[5]。这种专论型教材，多数出自英国学者之手，在振动领域是两部经典著作，瑞利的《声的理论》^[6]和乐甫的《弹性的数学理论》^[7]。这两本专论都是力学史上的重要文献^[8]。这种专论型的英国振动教材，比较近期的代表是《振动力学》^[9]。

与前述英国教材不同，美国的振动教材更为简明，也更强调工程应用。代表性教材是铁摩辛柯的《工程中的振动问题》^[10]和邓哈托的《机械振动》^[11]。尤其是[10]，铁摩辛柯本人3次修订再版，在铁摩辛柯逝世后仍由其他学者修订再版2次^[12]；并译成多种文字，其第三版^[13]和第四版有不同的汉译本^[14]。[11]也4次再版，第4版有汉译本^[15]。两部教材有大量的结构和振动的实例分析。正是这种对于工程问题的高度重视，以及美国工程技术特别是航空航天技术的发展，使得振动力学应用广泛，并产生了随机振动这一新的振动力学分支。铁木辛柯和邓哈托这两本经典教材，对美国的振动教学有深远的影响。

德国振动力学教学早期也受美国教材的影响。邓哈托教材[11]的第二版有德译本^[16]。上世纪五十年代，有少量强调应用的德文教材，标题为工程振动论(Technische Schwingungslehre)或振动技术(Schwingungstechnik)。这些书现在难以找到。欧洲包括俄苏在非线性振动研究方面已经有许多重要工作。六十年代初，德国工程力学大师马格努斯^[17]出版了教材《振动》^[18]，把线性振动与非线性振动整合为一体，开创了德国振动力学教材的传统。该书多次再版，目前已经出到第10版^[19,20]。第1版有英译本^[21]。尚未见汉译本。该书的内容和特点已经在[4]中有所介绍。

德国振动教材的特点是通过一些基本模型的研究，强调物理机制的清晰，以及数学描述的严谨。不是特别注重具体的工程应用，以及计算的细节。随着振动理论的发展，多数学者和教师从教学上考虑，认为还是有必要单独讲授线性振动。本文随后将评介3部德国线性振动教材。虽然对教学内容取舍和处理各有不同，但都在不同程度上具有上述物理机制清晰、数学描述严谨的特点。

应该说明，笔者对德国振动教材并没有全面调研。选择这3部教材介绍，一方面是因为作者席仑、哈格多恩和维滕堡均为动力学与振动领域的国际知名学者，另一方面教材也具有一定代表性。缪勒和席仑的教材，是高年级本科生或研究生水平的教材。哈格多恩的教材是侧重工程应用的本科生教材。维滕堡的教材则是偏重基础理论的本科生教材。

2. 缪勒和席仑的《线性振动：多自由度振动系统的理论论述》^[22]

《线性振动：多自由度振动系统的理论论述》先出德文版^[22]，有部分内容用于国际力学中心的教学而出版了英文讲义^[23]。后来全书翻译成英文^[24]，收入米洛维奇主编的“力学-动力系统”丛书。

该书分系统数学描述、定常系统和时变系统三部分。系统数学描述部分3章，为全书的基础。在简短的振动分类的讨论后，是动力学建模方法的概述。对多体系统的运动描述中采用了转动张量、惯性张量、6′1位置矢量、无限小转动等概念。动力学介绍了拉格朗日方程和牛顿-欧拉法，两种方法导出的运动方程一般为非线性微分方程组。经过线性化后就有线性振动系统方程，为关于广义坐标的二阶线性常微分方程组。引入广义坐标和广义速度为状态变量，可以导出状态方程，关于状态变量的一阶常微分方程组。方程组可以用相似变换或合同变换进行简化。定常系统为该书的主要部分，共6章。从状态方程的基本矩阵导出通解，并利用本征值和本征向量以及凯莱-哈密顿定理计算基本矩阵。讨论了平衡点的稳定性、激励系统响应的有界性和两者关系。把状态方程的理论应用于运动方程分析了自由振动和典型确定性激励下的受迫振动。较为详细地讨论了共振、吸振和参数识别等问题。简要说明了随机振动的谱密度分析和协方差分析。时变系统部分两章较为简略。重点是用状态方程基本矩阵表示的通解分析周期变化系数系统的稳定性，并应用于运动方程描述的振动系统，也简介了受激励时变系统响应的计算方法。最后附有数学基础知识的3章，简介能控性和能观性，矩阵方程和数值方法。

该书并不是第一门振动课程的教材，因为没有单自由度系统振动的内容。该书对离散多自由度系统的阐述在内容选择、分析方法和教学处理方面都有特色。在内容选择方面，以全面叙述定常系统为主，也涉及非定常系统。即使在各种振动教材都涉及的定常系统振动中，也包括些不常见的内容，如引入了拟共振的概念，对多自由度系统共振有细致的讨论；研究了优化问题，包括自由振动的优化和频率响应的优化。研究时变系统时，不仅主要关注稳定性问题，也概述对不同类型激励下响应的计算方法。在分析方法上，基本上采用了状态方程和运动方程两种数学描述平行展开。状态方程描述在数学上更为普遍，便于处理稳定性、有界性等问题；也便于与系统理论或控制理论接轨而讨论参数识别、能控性和能观性等。运动方程描述物理意义清晰，与传统的线性振动理论一致，便于解释典型的振动现象。激励的考虑，总体上采用从一般到特殊的方式，先导出任意激励下的通解或求解方法。然后再应用于脉冲激励、阶跃激励、简谐激励和随机激励等情形。在教学处理方面，理论推导较为简明，避免了冗长的推导。但补出省略的细节，对使用教材的教师和学生都有一定挑战。用几个典型的例证贯穿全书，包括双摆、车辆垂直振动、离心机。实例的分析不仅说明了理论的应用，也有助于对理论的理解。不足之处是例题和习题都比较少。

作者缪勒(Peter C. Müller)为稳定性和控制方面的专家，还著有《稳定性和矩阵(Stabilität und Matrizen)》(1977)。作者席仑(Werner O. Schiehlen)是动力学领域国际知名学者，所著教材《工程动力学(Technische Dynamik)》(1985, 2004, 2014, 2017)多次再版，并有英文版本《应用动力学(Applied Dynamics)》(2014)。还合著有《地面车辆动力学(Ground Vehicle Dynamics)》(2010)等。

3. 哈格多恩和奥特拜因《工程振动论：离散机械系统的线性振动》^[25]

《工程振动论：离散机械系统的线性振动》是两卷本教材的第一卷。第二卷为哈格多恩著《工程振动论：连续机械系统的线性振动》^[26]。后者有扩充的英文版《连续系统中的振动和波动》^[27]。

该书分5章。第一章基本概念主要为简谐运动描述和傅里叶级数。第二章是对单自由度系统的全面叙述。包括无阻尼和有阻尼的自由度振动，简谐激励、周期激励和任意激励下的振动的基本内容，也包括等效阻尼和机械阻抗等扩展内容，处理周期激励时分别采用了时域分析和频域分析。第三章为两自由度系统。分别讨论无阻尼和有阻尼的自由振动和强迫振动，也有些特例和应用，包括半正定势能系统、半个自由度、陀螺效应、转子临界转速和动力吸振。第四章为多自由度系统。从无阻尼自由振动导出了本征值问题，说明了本征值的性质，并发展了数值计算方法。进而研究了有阻尼自由振动、简谐和一般周期激励下的受迫振动。也讨论了有陀螺项系统、实验模态分析等专题性内容。第五章傅里叶变换在振动学中的应用，实际上是随机振动的导论。将傅里叶级数推广为傅里叶变换，讨论了受迫振动的频域分析。引入相关函数，在概率和随机过程基础上介绍了随机振动，并将谱分析应用于机械系统振动。每章配有习题。有些章还有参考文献。

该书选材较为传统，比较接近美国教材，偏重于应用，适合用于第一门振动课程的教材。内容精炼，聚焦于最基本离散定常系统振动。从单自由度开始，同时介绍必要的数学基础，教材具有独立性。在单自由度和多自由度之间，用两自由度过渡，教学坡度比较小，容易接受。除基本内容外，也有适当扩展，包括了随机振动，以及实验模态分析、陀螺系统等与实验和工程关系密切的专题性内容。没有涉及理论性比较强的复模态分析等内容。

哈格多恩(Peter Hagedorn)是振动领域国际知名学者。所著《非线性振动(Nichtlineare Schwingungen)》(1977)有一定影响，被译成英文版(1981)并修订再版(1988)，他的教材和专著还有《工程力学习题集(Aufgabensammlung Technische Mechanik)》(1988)，《工程力学1：静力学(Technische Mechanik 1, Statik)》(1989, 1993)，《工程力学2：强度(Technische Mechanik 2, Festigkeitslehre)》(1989, 1995)，《工程力学3：动力学(Technische Mechanik 3, Dynamik)》(1996)，《自由边界矩形板的振动和阻抗(Vibrations and Impedances of Rectangular Plates with Free Boundaries)》 (1986)，

4. 维滕堡《振动论：线性振动理论和应用》^[28]

《振动论：线性振动理论和应用》共分4章。正文前有简短的准备知识，为振动的复数表示和李雅普诺夫稳定性、不稳定性定义。第一章为单自由度系统振动；分别为无阻尼自由振动、阻尼自由振动以及对简谐、周期和任意激励的响应。第二章为多自由度系统振动，包括振动方程建立，实模态分析法，固有频率的近似计算，对周期激励的响应，以及处理一般非齐次问题的分析思路。第三章为参激振动；分析参激振动实例，说明振动稳定性问题；介绍了弗洛凯理论判断稳定性，并给出典型系统包括马休方程的稳定性边界；简要讨论多自由度的情形。第四章简要阐述一维连续体，即波动方程描述的系统和梁；包括振动方程建立，基于特征线的行波分析，转化为本征值问题的振动分析，瑞利法和里茨法近似计算固有频率。前两章配有习题，并附有答案。全书附有参考文献。

该书适合用于第一门振动课程的教材，偏重于理论。该书注重一般情形的讨论；多自由度系统建模考虑了陀螺项，并引入多体动力学所用的通路矩阵建立振动方程；多自由度系统分析引入状态方程及其本征值问题，考虑了速度系数矩阵和位移系数矩阵均非对称的情形；参激振动给出了参激多自由度系统振动的分析思路。从教学上考虑，该书的内容明显包括基本部分前两章和提高部分的后两章；基本部分占篇幅的三分之二，且有习题；提高部分比较简练，有很少的例子，没有习题。此外，数值计算也有所涉及，单自由度部分给出数值计算响应的FORTRAN程序。

作者维滕堡(Jens Wittenburg)是多体动力学领域国际知名学者。所著《多刚体系统动力学(Dynamics of Systems of Rigid Bodies)》(1977)有很大影响，被译成包括汉语在内的多国语言。其它的专著和教材还有《轨道陀螺的转动动力学(Rotational Dynamics of Orbiting Gyrostats)》(1971)，《柔性航天器动力学(Dynamics of Flexible Spacecraft)》(1971)，《多体系统动力学(Dynamics of Multibody Systems)》(2008)，《工程科学：工程力学(Das Ingenieurwissen: Technische Mechanik)》(2014)，《运动学：理论和应用(Kinematics: Theory and Applications)》(2016)等。

5. 对振动教材建设的启发

对国外振动教材的分析，对国内振动教材的建设有一定参考意义。特别表现在下列3个方面。

教材建设要多样化，适应不同需求。避免振动教材主要内容大同小异的同质化。编著有特色的教材，在满足“振动力学教学基本要求”的前提下，有所侧重。如果是偏向工程应用，应该加强振动实验及其信号处理的内容，增加振动系统设计和控制的内容。如果是偏向力学理论，应该加强振动机理的分析，充分应用数学基础知识。目前还缺少供本科学过振动力学的研究生使用的振动教材，线性振动部分需要讲述复模态分析方法、状态空间分析等。

在振动力学教材中，要重视动力学模型建立和简化过程。教材的例题不应局限于质量-弹簧系统和摆系统。可以引入更接近工程实际也更为复杂的系统，用矢量力学或分析力学的方法建立动力学方程，并通过线性化导出振动方程。这样既可以展示振动力学的应用前景，也可以复习理论力学中建立动力学方程的相关内容。

力学专业的振动教材，要加强振动现象的讨论。特别是多自由度系统，如果只是算出固有频率和振型，就变成直接的线性代数练习了。要通过计算振动特性，分析振动响应的特点以及随相关参数的变化趋势。为全面理解振动机制，应该增加参数振动的内容。本科生阶段应该以参激振动现象讨论为主，用最简单的方法，揭示最重要的现象。分析方法的系统发展，可以留给后续课程。

6. 结束语

本文先简略描述了英国、美国和德国振动教材的早期历史。随后依次概述三部德国著名学者所编著线性振动教材的内容，并分析其特点。最后提出对振动力学教材建设的建议。

参考文献

1  于开平. 振动力学相关课程设置及教材分析[J]. 力学与实践, 2017, 39(2): 185-191.

2  陈立群. 国外振动新教材内容和特点[J]. 力学与实践, 2009, 31(1): 79-83.

3  胡海岩. 对力学教育的若干思考[J]. 力学与实践，2009，31(1)：70-72.

4  陈立群. 一部德国经典振动教材及其作者[J]. 力学与实践, 2017, 39(5): 489-491.

5  武际可. 对力学教材的几点看法[J]. 力学与时间，2000，22(5)：69-72

6  J W S B Rayleigh. The Theory of Sound (Vols. 1,2)[M]. London: Macmillan, 1878, 1896.

7  A E H Love. A Treaties on the Mathematical Theory of Elasticity[M]. London: Macmillan, 1892, 1906, 1920, 1927.

8  武际可. 1920年以前力学发展史上的100篇重要文献[J]. 力学与时间，2006，28(3)：85-91

9  R E D Bishop, D C Johnson. The Mechanics of Vibration[M]. Cambridge University Press, 1966, 1979.

10 S. Timoshenko. Vibration Problems in Engineering [M]. New York: D. Van Nostrand, 1928, 1937, 1955

11 J P Den Hartog. Mechanical Vibrations[M]. New   York: McGraw-Hill, 1934, 1940, 1947, 1956.

12 S Timoshenko, S H Young, W Weaver. Vibration Problems in Engineering[M]. New York: John Wiley & Sons, 1974, 1990.

13 提摩盛科著(翁心棡、徐华舫译). 机械振动学[M]. 北京: 机械工业出版社, 1958

14 S 铁摩辛柯, D H 杨, W 小韦孚著(胡人礼译). 工程中的振动问题[M]. 北京: 人民铁道出版社, 1978.

15 J P 邓哈陀(谈峯译). 机械振动学[M]. 北京: 科学出版社, 1961.

16 I P Den Hartog (uebersetzung von G Mesmer). Mechanische Schwingungen [M]. Berlin: Verlag, 1952.

17 刘延柱.德国工程力学大师马格努斯的学术贡献[J]. 力学与实践, 2017, 39(4): 417-420.

18 K Magnus. Schwingungen: Eine Einführung in die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen [M]. Wiesbaden: Springer, 1961, 1969, 1976,1986.

19 K Magnus, K Popp. Schwingungen: Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen [M]. Wiesbaden: Springer, 1997, 2002, 2005.

20 K Magnus, K Popp, W Sextro. Schwingungen: Grundlagen – Modelle – Beispiele  [M]. Wiesbaden: Springer, 2008, 2013, 2016.

21 K Magnus (translated by L Macquisten-Wallace). Vibrations [M]. London: Blackie, 1965.

22 P C Müller, W O Schiehlen. Linear Schwingungen: Theoretische Behandlvng von mehrfachen Schwingern [M]. Wiesbaden: Akadenisch Verlag, 1976.

23 P C Müller, W O Schiehlen. Forced Linear Vibrations [M]. New   York: Springer-Verlag Wien, 1977.

24 P C Müller, W O Schiehlen (translated by S. Swierczkowski). Linear Vibrations: A theoretical treatment of multi-degree-of-freedom vibrating systems [M]. Dordrecht: Martinus Nijhoff Publishers, 1985.

25 P Hagedorn, S Otterbein. Technische Schwingungslehre: Lineare Schwingungen diskreter mechanische Systeme [M]. Berlin: Springer-Verlag, 1982.

26 P Hagedorn. Technische Schwingungslehre: Lineare Schwingungen konitinuerlicher mechanische Systeme [M]. Berlin: Springer-Verlag, 1989.

27 P Hagedorn, A DasGupta. Vibrations and Waves in Continuous Mechanical Systems [M]. John Wiley & Sons, Chichester, 2007.

28 J Wittenburg. Schwingungslehre: Linear Schwingungen, Theorie und Anwendungen [M]. Berlin: Springer, 1996.

发表于：力学与实践, 2018, 40(5): 549-553