刚刚参加完纪念许宝騄先生诞辰一百周年的概率统计研讨会。于是产生一个想法，结合会议情况，跟大家聊一些概率论中的一些具体问题。

大家知道，在一般的物理世界中，运动有两类形式：一类是连续轨道运动；另一类则是不连续轨道运动，也就是常说的带跳的过程。我们撇开数学里面很精细的东西，用很朴素的观点来看，这两种运动都是很自然的。有的时候，把一种运动看成是连续的还是带跳的，要依赖“观测”条件。比如经典物理，我们常常把运动处理成连续轨道运动；但到了微观物理，基于观测的限制，理论上时常把运动处理成离散带跳的运动。当然，这倒不是说微观运动就一定要处理成离散的，宏观运动就一定是连续的。很多时候，要看问题本身的特点。

在概率论中，研究的最多的有两个基本模型。一个是大家熟悉的布朗运动，它是典型的连续过程，只是说在随机因素的干扰下，它的轨道看起来并不光滑，而是有些杂乱无章的，但它的轨道毕竟还是连续的。基于布朗运动，概率学家发展了一套完善的理论，我们叫它随机分析。另一个过程叫做泊松过程，我想知道它的朋友也很多。一般，我们介绍泊松过程都是从数数讲起。比如，我们说，医院的接诊台接待的患者人数，一般会假设它服从一个泊松过程。这种计数过程当然是“带跳”的，跳一步，就相当于计数的时候加一。

所以，建议想学随机过程的朋友，从这两个过程学起。然后逐步学习更加深入的随机过程。

从研究来看，我们刚才讲到基于布朗运动的随机分析理论是较为完善的。相应地，带跳的过程相对难研究一些。举个不恰当的例子，就比如大家研究常微分方程会觉得容易一些，而研究差分方程就要吃力一些。道理是类似的。（当然不要误解说随机分析就容易做）

在本次纪念会议中，有好几位老师的报告题目是介绍“带跳”的随机过程。从一个侧面反映，人们迫切希望知道关于带跳随机过程更多的信息。这里大家不要小看了“跳”，数学中刻画的跳可以是非常复杂的跳跃，甚至都无法给出直观的形象。在带跳的过程中，一类叫做Levy过程的研究是最为充分的。Levy过程是很大一类过程，它不仅包括了很多带跳的过程（如泊松过程），也包括布朗运动，只是现在概率学家更多的是在借助这套理论研究带跳的Levy过程。我想，熟悉金融工程的朋友都接触过Levy过程，它的应用还是非常广泛的。

总结来看，我们将随机过程按照轨道进行分类，是基于非常朴素的观测。从研究手法上说，这样的分类也是有道理的。还是想重申的是，将一个运动当作何种轨道进行处理，要看研究对象而定，而且有时候是一件主观的事情。比如，在金融数学当中，研究资产定价的多是基于布朗运动和随机分析；而保险行业则更多的采用带跳的过程。这里，我只是希望想学习和了解概率论的朋友，从轨道层面对随机过程做适当的区别对待，并且建议从布朗运动和泊松过程起步。

 

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