概率空间的构造，是概率学家首先要关心的问题，但在大多数应用概率论处理实际问题的人们看来，这就属于“折腾”。

我们知道，标志着概率论这门学科真正成熟的事件是“概率公理化体系”的建立。换句话说，在此之前，学者们并没有明确的构造概率空间的观念，但这并不代表当时的概率研究没有意义。反而，相当一部分概率论的研究内容在公理化之前就已经展开了，比如正态分布、布朗运动、马氏过程等等。直到今天，除了纯粹的概率学家，绝大多数人是不关心“概率空间”这个概念的，而且这似乎并不影响他们将概率论有效的应用于科学研究中。

这里，我想先简单介绍一下，构造概率空间到底是在做一件怎样的事情。粗略来讲，就是要确定两件事：事件集及其上的概率测度。也就是说，我们首先要搞清楚这个概率模型中的事件到底有哪些，然后对这些可能发生的事件赋以相应的权重，即概率。对于单次抛硬币这样简单的问题，这两件事当然可以做得非常直观简单。但是，对于比较复杂的概率模型（如多次抛硬币），这个问题就会复杂一些。很多朋友一定疑惑，这个问题到底复杂在哪？一方面，在确定“事件集”的时候，我们不仅要使得这个集合包含足够多的可能事件，同时也要使得这个事件集具备一定的运算“封闭性”，否则做概率计算的时候，会出现问题。那朋友会说，直接把这个集合弄得大大的不就行了吗？这会引出另一个问题，就是相应的概率测度可能构造不出来。因为大家要明白，概率测度本身也要遵守一些公理化的要求（特别是可列可加性）。如果定义的事件集太大，那么定义在上面的概率就无法满足其作为“测度”的限制条件。

历史上，有一些大的概率难题就是涉及空间构造的。比如wiener测度的构造，就完满地回答了布朗运动的构造问题。构造类问题所涉及的数学知识普遍比较艰深，比如泛函分析和随机分析。所以即便是概率论这个行当内的学者，大多也不会专注在构造的问题上。

那么回到“折腾”的话题。从数学上讲，概率空间的构造显然是必不可少的；但是这种数学上的“必须”，对于应用概率论的学者而言，意味着什么？我想，它至少可以从以下几个方面理解：

1、虽然在公理化出世之前，概率论也有很好的发展，但是不可否认，概率论的大发展是公理化之后的事情。很难想象，由一系列“零散”的数学零件组成的学科能很好的服务科学。很多时候，科学作为源泉，为数学提供了很多素材，这些素材在数学大师的编织之下，变得结构严谨而清晰，从而反过来，为科学的发展夯实基础。

2、大家在现实问题中没有遇到的问题，不代表它不存在。实践证明，一些被科学家认为的数学上的“死角”，都会在科学研究中出现。就比如，大家学微积分的时候，除了数学系的同学，其他专业的同学基本不关心“函数可积性”的问题。大家拿起题目就算，似乎也从没有遇到过什么不可积的情况。但是不可否认，历史上，“不可积”的问题被人们多次遇到，这就需要数学家的工作。相应的，概率空间的构造问题也是如此。

3、因为构造问题是非常核心的数学问题，所以它的研究会联系很多数学分支，从而也会推动一些大的数学工具的发展，这些工具又会很好的服务科学。当今对于概率空间的构造主要是随机过程的构造问题。大致上有三种方法：半群方法，鞅方法和随机微分方程的方法。这三种方法，可以说，顶起了概率论理论研究的大半边天，它们也广泛应用于理论物理学当中。当然，不能仅仅说是构造问题带动了这些数学工具的发展，应该说是相互刺激和促进的关系。

所以，看似跟大多数人无关的“折腾”构造，实际上在发挥巨大的作用。

 

 

转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自周达科学网博客。
链接地址：https://blog.sciencenet.cn/blog-219728-301373.html

上一篇：咱们国内的数学奖
下一篇：小概率事件（一）