物理学笔记（4）：玻尔的定态与跃迁

一、量子化：定态与跃迁

   欲说定态与跃迁，一定要从玻尔谈起......

   1913年，曾被J.汤姆逊打发到卢瑟福那儿去的玻尔一口气发表了他的“三部曲”：《论原子和分子的结构》（On the Constitution of Atoms and Molecules）、《单原子核体系》（Systems Containing Only a Single Nucleus）和《多原子核体系》（Systems Containing Several Nuclei）。

   在《论原子和分子的结构》（Philos. Mag. 26, 1）中，玻尔写到：

      The way of considering a problem of this kind has, however, undergone essential alterations in recent years owing to the development of the theory of the energy radiation, and the direct affirmation of the new assumptions introduced in this theory, found by experiments on very different phenomena such as specific heats, photoelectric effect, Röntgen-rays, & c. The result of the discussion of these questions seems to be a general acknowledgment of the inadequacy of the classical elecrtodynamics in describing the behaviour of system of atomic size.Whatever the alteration in the laws of motion of the electrons may be, it seems necessary to introduce in the laws in question a quantity foreign to the classical electrodynamics, i.e., Planck’s constant, or as it often is called the elementary quantum of action. By the introduction of this quantity the question of the stable configuration of the electrons in the atoms is essentially changed, as this constant is of such dimensions and magnitude that it, together with the mass and charge of the particles, can determine a length of the order of magnitude required.

     （近几年来对这类问题的研究途径发生了根本的变化，由于能量辐射理论的发展和这个理论中的新假设从实验取得了一些直接证据，这些实验来自各不相同的现象，诸如比热、光电效应和伦琴射线等等。这些问题讨论的结果看来一致公认经典电动力学并不适于描述原子规模的系统的行为。无论电子运动规律如何变动，看来有必要引进一个明显区别于经典电动力学概念的量到这些规律中来。这个量就叫普朗克常量，或者是经常所称的基本作用量子。通过引进这个量，原子中电子的稳定组态这个问题就发生了根本的变化，比如该常量具有的尺度和大小，结合粒子的质量与电荷，足以确定所需要的线度的数量级。）

   在实际的计算过程中，玻尔提出了两个重要的假设：

      (1) That the dynamical equilibrium of the systems in the stationary states can be discussed by help of the ordinary mechanics, while the passing of the systems between different stationary states cannot be treated on that basis.（处于定态的系统的动力学平衡可以借助普遍的力学进行讨论，而系统在不同定态之间的过渡则不能在这个基础上处理。）

      (2) That the latter is followed by the emission of a homogeneous radiation, for which the relation between the frequency and the amount of energy emitted is the one given by Planck’s theory.（后一过程伴随有同类辐射的发射，其频率与释放能量的关系由普朗克理论给出。）

    这两条假设现在一般被称为“定态”（stationary state）与“跃迁”（transition or jump）。可能受“大师兄”卢瑟福的影响，玻尔仍然频繁调用了“轨道”（包括stationary orbit）的经典概念，在圆轨道的模型框架下（卢瑟福的核式结构原子模型），玻尔进一步给出了著名的量子化条件，即原子核外电子绕核“公转”的角动量L满足如下关系(mv为电子线动量，R为轨道半径，h为普朗克常量，n为主量子数)：

$L=mv\times R=\frac{nh}{2\pi } ,n=1,2,3......$

玻尔的这个量子化条件后来被索末菲推广为多自由度下的量子化通则，又由德布罗意通过德布罗意波在圆轨道上的驻波条件给出解释。量子力学建立后，可以通过薛定谔方程的求解，在主量子数和角量子数“足够大”的情况下（即主量子数和角量子数取极限）得出玻尔量子化条件。

  玻尔喜欢用更符合经典味道的”轨道"和"过渡"（passing）指谓定态与跃迁，但并不影响定态跃迁假设和量子化条件刻画了与经典物理完全不同的微观图像——量子化：

  （1）玻尔提出“定态”，规定电子处于量子化条件允许的轨道上时不辐射电磁波，实际上是用“强制手段”规避了经典电动力学框架下电子绕核运动辐射电磁波的困难——这种“野蛮”的手法很容易招致不满（汤姆逊、卢瑟福......一干经典大佬），却并不稀奇，比如集合论中的ZFC公理系统就是通过“强制”引入“分类公理”（Axiom schema of specification）规避“真类”（proper class，通俗地讲即自身可以作为元素的“类”，比如所有集合组成的集合）带来的罗素悖论——数学家可以，物理学家为什么不可以？

 （2）按玻尔后来（与爱因斯坦的争论中）表述习惯，定态之间的“跃迁”

$E_{b}-E_{a}=h\nu$

实际上构造了一个“黑箱”，我们可以通过“初态”和“末态”直接确定辐射或吸收的能量（或反其道而行之，类似于空间中机械运动的位移只与初末位置有关，与实际路径无关），规避了“定态之间如何过渡”这类过于复杂的细节（经典物理意义的），并且这些细节本身（也许暂时地）在实验上是没有意义的，物理学理论只需要刻画实验室里观测到的东西——非常哥本哈根趣味！

  （3）量子化条件以及后来的量子化通则在普朗克、爱因斯坦量子与光量子假设的基础进一步强化了微观世界的“碎片化”，即物理量随时间或空间的不连续或离散现象（比如束缚态的能级）。在数学上，这种离散现象与微分方程在有限边界条件的本征值问题密切相关，这与德布罗意的驻波条件契合，也是薛定谔的思考方向。当然这种不连续或离散现象可以通过玻尔的对应原理“平稳地”过渡回符合经典描述的连续世界。

   玻尔在上述“半经典”假设基础上构造了他的氢原子模型（可以看成卢瑟福模型的改良版），玻尔氢原子模型与普朗克的黑体辐射定律、爱因斯坦的光电效应方程共同构成了早期量子论（即1925年量子力学建立以前的量子理论）的三个主要模型。普朗克、爱因斯坦、玻尔不断引入的“新假设”及其“古怪”的处理手法在当时的理论物理界激起不小的波澜——有赞许、有抨击、有追随、有修正......

   其实在更普遍的意义上（特别是不连续或离散这一点），“量子化”很可能不仅是“20世纪物理学的三条主旋律之一”（杨振宁语，另外两个是“对称”和“相位”），它也许是物理学中一直潜伏的幽灵(按物质结构、相互作用、时空的线索)：从德谟克利特、道尔顿再到分子运动论......，这可以说是物质层次或结构的“量子化”（包括经典意义上电荷的“量子化”）；普朗克、爱因斯坦与玻尔的工作，可以说主要是辐射、能量、作用量......的“量子化”，还有后来的QED、QCD.....；还有高端、大气、上档次的时空量子化或引力量子化......

  按照玻尔的“哲学套路”，一贯由经典物理描述的宏观世界也是可以“量子化”的——这取决于观测的空间尺度与时间频率，打些通俗的比方（只是比方！）：比如一堵由标准形状、大小、质量的砖头垒成的墙，不计黏合剂与磨损，墙的高度与总质量一定是单块标准砖厚度和质量的整数倍；动态的电影或动画在时间上有最小的单幅影像，即一帧或一格静止的图像，而一副图像又在空间上存在最小的显像单元——像素.......

  换句话说，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”在物理上是没有意义的，世界的图像很可能是“簇矢之疾,而有不行不止之时”......

二、状态量与过程量

   如果不考虑物理量在空间或时间上是连续的还是离散的，经典物理框架同样也有规避“复杂细节”的办法。

   比如经典意义上的热力学主要讨论平衡态（equilibrium state）问题，不用过多考虑偏离平衡态或非平衡态向平衡态过渡的弛豫过程。基于热力学第零、第一、第二定律可以定义刻画平衡态的态函数（state function），对平衡态体系，态函数有确定值，其变化可以由初末态函数决定——定态跃迁的手法！

   对刻画自然现象的物理量而言，可以作态函数的物理量称为状态量，而态函数的变化量称为过程量。态函数的判别可以用函数f 构造Pfaff方程:

$df=\sum_{i=1}^{n}X_{_{i}}dx_{i}=0$

不妨设i=2，则上式可化为df=Xdx+Ydy=0，当且仅当史瓦西关系成立，即

$\frac{\partial X}{\partial y}=\frac{\partial Y}{\partial x}$ ，即 $\frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}$

df=0是具有全微分形式的恰当微分方程，则f为态函数，态函数变化量的积分

$\Delta f=\int _{C}df=\int _{C}(Xdx+Ydy)=f_{b}-f_{a}$

与积分路径C无关。

   这个数学结论在物理上可以体现为抽象的功能关系：

$\Delta E=W$

其中以某些形式的能量作为态函数，可以包括重力势能、引力势能（指经典意义上的引力势能，朗道和栗弗席兹在《场论》中发展了广义相对论框架下的引力势能，具有张量形式）、弹性势能、静电场中的电势能、保守场中的拉格朗日函数和哈密顿函数......如果状态量是具有能量量纲的热力学态函数（内能、焓），过程量还需考虑热量Q。

  比如保守场中的势能函数V，在空间三维坐标下有全微分形式

$dV=-\left ( \frac{\partial V}{\partial x}dx+\frac{\partial V}{\partial y}dy+\frac{\partial V}{\partial z}dz \right )$

当且仅当 $\triangledown \times \left ( -\triangledown V \right )=\overrightarrow{0}$ 。在我们熟知的重力场或静电场中，作为保守力的重力或静电力做功（重力势能或电势能的变化量）与路径无关，可通过初末状态的重力势能差或电势能差确定。

   如果态函数是动能，对应的过程量为合外力所做的功，其中可能有非保守力（比如涡旋电场产生的涡旋电场力）或耗散力（流体粘滞阻力）做功，直接积分比较麻烦，其总功（包括可能的保守力做功）可通过初末状态的动能差确定。

   与玻尔的定态跃迁方法类似，经典物理在处理状态量（主要是能量）和过程量（主要是热量和机械功）关系时也尽量规避复杂的细节（动力学意义的），许多具体问题从功能关系入手往往比从动力学方程入手更简便。

  一个明显的区别在于：经典物理量在“理论上”是随空间或时间连续分布的。但如同前面提到的，在“实验操作上”，由于观测空间尺度和时间频率的限制，我们只能选择“相信”连续而无法实证之......

  也许，世界本来就是量子化的吧？？？

  ——哥本哈根的，太哥本哈根的！

  祝尼尔斯·玻尔生日快乐（1885.10.7）！

Niels Henrik David Bohr