物理学笔记一则（3）：逻辑原子论与物理学公理化运动

物理学在表述中呈现出的形式结构及其意义的重视与探讨是自I. Newton创立经典力学体系以来的传统。一般地，物理学的表述所依赖的载体主要分为两种：第一种是自然词汇组成的陈述性语句；第二种是数学符号组成的算术表达式。以前者为主要表述方式的物理学文献集中出现在Aristotle到Newton时代。大约从P. Laplace开始，符号表达式逐渐取代了自然语句成为了物理学的主要表述方式。

无论是自然词汇的陈述语句，还是数学符号表达式，在本质上都可归类于形式逻辑的命题。这些命题依赖相互之间的逻辑关系组成的系统便是物理学在表述中呈现出的形式结构。我们通过这套形式结构逻辑地或数学地刻画物理学的概念，而概念指向了物理世界中的客观实在，如同A. Einstein、B. Podolsky、N. Rosen指出的那样[1]：“这些概念对应于客观实在，而我们通过它们向自己描绘了实在。”

历史上，物理学家对形式及其意义的兴趣可以从J. Maxwell的一段经典论述中得到验证。在著名的电磁理论文献《论Faraday的力线》（On Faraday’s Lines of Force）中，Maxwell明确指出了形式（数学表达式）的重要性，他说[2]：“为了获得不依赖固有理论的物理学新概念，我们必须善用物理类比。所谓物理类比，是指利用科学规律之间的局部相似性，用它们中的一个去说明另一个。因此，所有的数理科学要建立在物理学规律与数学规律之间关系的基础之上，所以精密科学的目的在于将自然界的难题以数的手段还原为量的判断。通过最普遍的类比到极小的局部，我们发现正是两种不同现象相同的数学表达形式催生了光的物理学理论。”

到了20世纪30年代，随着分析哲学中逻辑原子论（logical atomism）的一度兴盛与数学物理学中物理学公理化运动（motion of mathematical treatment of the axioms of physics）的推进，对物理学形式结构的探讨已经取得了长足的进步。

一.逻辑原子论

分析哲学中的逻辑原子论由B. Russell与L. Wittgenstein创立于一次世界大战前后，其学理基础是世纪之交发展起来的数理逻辑学。在Russell之前，G. Frege与G. Peano已经完成了自然算术的公理化以期为算术奠定一个适当的基础。Russell在细致地考察了Frege与Peano的工作后，提出了一个论断[3]：“我们需要我们的数能计数通常的事物，也就是要求我们的数不仅具有某种形式的性质，还应该具有一种确定的意义。这种确定的意义须以算术的逻辑理论来定义。”这表明，Russell相信：建立形式概念与客观实在的联系（即赋予形式概念“确定的意义”）必须通过逻辑理论来实现。更重要的是，Russell指出了一条建立联系的路线，即回到逻辑上的初始概念。在阐述数学这门学问的两个基本发展方向时，他指出了其中一条是[3]：“由分析我们所肯定的基本概念和命题，而进入愈来愈高的抽象和逻辑的单纯；取这种方向，我们不问从我们开始所肯定的东西能定义或推演出什么，却追问我们的出发点能从什么更普遍的概念与原理定义或推演出来。”这一点，他从古希腊几何学家的工作那里寻求了印证。在几何学真正诞生以前，古埃及人已经从陆地测量的实践中获得了大量的经验规则。以Euclid为代表的古希腊学者充分吸收了这些规则，并从中分析出了可以证明这些规则的普遍命题，进而由这些普遍命题达到了Euclid几何学的公理（axiom）与公设(axiomatic hypothesis)。这个过程实际上已经建立了完备的欧氏几何学，至于对公理或公设的演绎则属于欧氏几何学的应用了。

对Russell而言，对自己路线更清晰的、更具有普遍意义的表达是Wittgenstein完成的。1918年，Wittgenstein完成了《逻辑哲学论》（Tractatus Logico-Philosophicus）的文本写作，这部书已经被公认为是20世纪最重要的哲学文献之一。虽然Wittgenstein坚持认为Russell对《逻辑哲学论》的阐释歪曲了自己的思想，但在当时的历史条件下或许正是这种“歪曲”促成了逻辑原子论的诞生，而《逻辑哲学论》在今天已被视为阐述逻辑原子论的经典文本之一。

《逻辑哲学论》文本由7个核心命题展开，其中第一个命题的第一个一级评注是[4]：“1世界是事实（fact）的集结，而不是事物（thing）的组合。”在逻辑原子论的框架下：

1.事实被看作是由一系列相互独立的基本单位组成的，Wittgenstein称之为“事态”（states of affairs），Russell称之为“原子事实”（atomic fact）；对事态或原子事实存在的断言即“原子命题”（atomic proposition）。这里使用的“原子”是“逻辑原子”（logical atom），它来自Democritus的传统，申明了在形式上而非物理上不可分割的性质。Russell或Wittgenstein在逻辑哲学论中预期：可以借助对任何一个通常的复合命题的分析获得组成它的原子命题（分析的终止），这些原子命题严格地对应于物理世界中的原子事实。这个路线可以作为我们获得有关世界的不容置疑的确定知识的途经，甚至在Russell与Wittgenstein的早期思想阶段，这是唯一的途经。

2.我们对事实的表述就是在“逻辑空间”（logical space）中构造“图像”（picture），“图像”也是一种“事实”；“图像”的“要素”（element）以一定方式相关联，对应于“事物”以同样方式相关联，这种相同的关联称为“图像的结构”（structure of the picture）；如果这个“结构”存在，则称“图像”具有“图示形式”（pictorial form）。Wittgenstein总结说[4]：“2.1511图像就是这样依附于实在；它直接触及实在。”

采纳逻辑原子论的视点，把物理学或经典物理学最基本的规律归类于原子事实，把陈述这些最基本规律的原理或公理归类于原子命题；而整个物理学理论体系就是Wittgenstein所定义的一种图像，它的目的或价值在于具有图示形式。这种图示形式表述出来可以是自然语句也可以是数学表达式。

值得注意的是，Wittgenstein在《逻辑哲学论》中明确了物理学的形式通向客观世界的逻辑途径[4]：“6.3431 物理规律借助其全部的逻辑机制间接地言说世界中的对象。”这既可以被视为是对Russell路线的回应，又可以看作是Einstein物理实在观的先导。

二、物理学公理化运动 

20世纪初才正式进入人们视野的物理学公理化，其实一直是经典物理学的一个潜在的历史传统，它可以追溯到Newton在《自然哲学之数学原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy, 简称《原理》）中对欧氏几何学的“模仿”。比如K. Gödel曾经评论道[5]：“物理学家对公理化方法缺乏兴趣，就像一层伪装：这个方法不是别的，就是清晰的思维。牛顿把物理学公理化，因而把它变成了一门科学。”

然而，物理学公理化在世纪之交被正式提出来并受到一定程度的重视，完全要得益于一场由数学家或者说数学物理学家发起的物理学公理化运动。1900年，D. Hilbert在第二届国际数学家大会上宣读了题为《数学问题》（Mathematical Problems）的著名演讲。在这篇演讲中，Hilbert向当时的数学界提出了23个有待深入研究的基础数学方向或难题，合称“Hilbert问题”。其中第6个问题，即物理学的公理化，Hilbert对此的阐述是[6]：“对几何学基础的探讨暗示了这样一个问题：可以借助公理且运用相同的方法处理数学在其中扮演着重要角色的物理科学；首要解决的便是概率论和力学。”在给出一些路线上的提示后，Hilbert进一步强调[6]：“此外，数学家的责任是在每个实例中严格检验这些新公理是否与旧的相容。物理学家，当理论取得进展时，经常发现自己为实验结果所迫而去构造新的假设，为了使这些新假设与旧的公理相容，他不得不依赖这些实验或某些物理直觉，而这种经验在理论的严格逻辑构建中是不被允许的。对我来说，令人满意地证明所有假设的相容性同样很重要，因为获得每一个证明的努力总会最有效地迫使我们达到一个严格的公理表述。”虽然，Hilbert对公理相容性证明的预期最终被Gödel证明为不可能，但物理学公理化的号召还是得到了相当可观的积极响应。在随后的30多年的时间里，这场运动取得了4项重大进展：

1909年，G. Hamel在分析力学的基础上实现了力学的公理化。

同年，C. Caratheodory发表了公理化热力学的基础。

1932年，von Neumann出版了《量子力学的数学基础》（Mathematical Foundations of Quantum Mechanics）。该文献被普遍视为遵循Hilbert路线的一个量子力学公理化范本。

1933年，A. Kolmogorov建立了严格的公理化概型，概率论实现了公理化。

前3项成果，在物理学中均起到了一定的积极作用，特别是von Neumann的量子力学公理化对现行量子力学Copenhagen诠释的确立奠定了坚实的数学基础。而Kolmogorov的工作则比较特殊，因为正是公理化概型的建立使概率论从物理学过渡到了数学。过渡的关键在于概率的定义。在公理化概型以前，概率定义依托于建立在随机试验基础上的古典概型与建立在几何测度基础上的几何概型。以Laplace建立的古典概率定义为例，它在逻辑上依赖一个可观测（基本事件的有限性与等可能性）的试验，由此给出的概率定义实际上是试验中直接观测到的频率在足够多试验次数条件下的极限，这种对实际观测量（频率）的依赖正是物理学作为实验科学的一个特征。在这个层面上，Kolmogorov的公理化概型使概率脱离了实际试验的限制，达到了“愈来愈高的抽象和逻辑的单纯”。至于具体内容，已不在物理学讨论范畴，不再赘述。

主要参考文献：

[1] A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen. Can Quantum-Mechanics Description of Physical Reality Be Considered Complete? [J]. Phys Rev, 1935, 47:777; 777.

[2]J. Maxwell. On Faraday’s Lines of Force[J]. Transactions of Cambridge Philosophical Society,1855,10:156.

[3] B. Russell. 数理哲学导论[M].晏成书，译.北京：商务印书馆，2005：15; 7.

[4]L. Wittgenstein. Tractatus Logico-Philosophicus[M]. Translated by D. F. Pears and B. F. McGuinness. Routledge, 2002:5;10;83.

[5]H. Wang. 逻辑之旅：从哥德尔到哲学[M]. 邢滔滔、郝兆宽、汪蔚，译.杭州：浙江大学出版社，2008.

[6]D. Hilbert. Mathematical Problems[J]. BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, 2000, 37(4):418;419;419.