物理学笔记一则（2）：“物理类比”

  庞加莱在《科学的价值》（李醒民教授译版）中有这样意味深长的一段话：

   我们自信，我们在推理中不再诉诸直觉；哲学家告诉我们，这是假象。纯逻辑永远也不能使我们得到除同义反复之外的任何东西，它不创造任何新东西；任何科学也不能仅仅从它产生出来。在这一意义上，哲学家是对的；要构成算术，像要构成几何学或构成任何科学一样，除了纯逻辑以外，还需要其它东西。为了称呼这种东西，我们只好使用直觉这个词。

  这最后一句引出“直觉”，很有点《道德经》的味道——吾不知其名，强字之曰“道”（第二十五章）。

  从历史背景上看，庞加莱这个论断应该是针对罗素的逻辑主义（也有可能包括希尔伯特的形式主义）。如果把目标再缩小一点，老庞应该是想阐明传统的逻辑演绎在认识论或方法论上的局限，或者说纯逻辑演绎体系总会存在实践意义上的“破缺”。

  让我来打个比方：

  传统的逻辑演绎手段好比CT用（工业用或医用）的x射线。一般情况下，许多可见光下不透明的物体对x射线是透明的，有助于我们“分析”物体的内部结构。

  在医院照过CT的朋友都知道，x射线是可以用铅板来防护的。其穿透力与频率（反映能量）正相关（与波长反相关），一般医用频段的x射线，用2~3mm厚的铅板就可防护。其中原理涉及x射线与重核原子（比如原子序数为82的铅Pb）的相互作用，这里就不罗嗦了。

  现在我们把尺度调整到宏观，当我们遇到障碍物穿不过去怎么办呢？——“绕”过去呗！

  这时候低频长波的探测手段就显现出优势了——“衍射”（diffraction，旧译为“绕射”）。

  在认识论上有一种类似“衍射”的手段——“物理类比”（ physical analogy ）。让我们看看麦克斯韦在《论法拉第的力线》（On Faraday’s lines of force）里是怎么说的：

     In order to obtain physical ideas without adopting a physical theory we must make ourselves familiar with existence of physical analogies. By a physical analogy I mean that partial similarity between the laws of one science and those of another which makes each of them illustrate the other. Thus all the mathematical sciences are founded on relations between physical laws and laws of numbers, so that the aim of exact science is to reduce the problems of nature to the determination of quantities by operations with numbers. Passing from the most universal of all analogies to a very partial one, we find the same resemblance in mathematical form between two different phenomena giving rise to a physical theory of light.

为了获得不依赖固有理论的物理学新概念，我们必须善用“物理类比”。所谓“物理类比”，是指利用科学规律之间的局部相似性，用它们中的一个去说明另一个。因此，所有的数理科学要建立在物理学规律与数学规律之间关系的基础之上，所以精密科学的目的在于将自然界的难题以数的手段还原为量的判断。通过最普遍的类比到极小的局部，我们发现正是两种不同现象相同的数学表达形式催生了光的物理学理论。

这个“物理类比”多少有点不完全归纳的影子，它的结果肯定是或然性的，反正或然性正是我们这个宇宙或所谓科学的常态罢了。麦克斯韦说的足够明白了，物理学史上的例子也够多了——我就举一个“高大上”的：

我们的宇宙有很多相互作用（力），按性质分（即按目前我们认识到的作用起源分），归根结底只有四种：万有引力、电磁力两种长程力；强力、弱力两种短程力。

“话说天下大事分久必合，合久必分......”

有人就是看这四个东西不舒服，试图在数学和物理（实验）上把它们统一起来：

1967年，建立了弱电统一理论。1983年欧核中心（玻尔创立的CERN）在实验中发现弱电统一预言的 $W^{\pm }$ 和Z⁰，大家对电磁力和弱力的统一争议不大了。

20世纪70年代的“大统一理论”（Grand Unified Theorie，GUT）试图统一电磁力、强力、弱力。由于它预言的磁单极子所带来的沮丧，GUT之路任重而道远......

最难的还是把万有引力和电磁力（电与磁的统一在法拉第、麦克斯韦时代就完成了）统一起来，爱因斯坦他老人家都折戟沉沙了。这里面涉及到相对论基础与量子力学基础的相容性问题（特别是广义相对论与量子场论）。

20世纪60年代到70年代中期，先后建立了弦理论与超弦理论，被认为是一个很好的方向。但问题也是令人头疼的，比如其预言的高维时空（时空维数大于4）的坍缩还有那万恶的、效验用的高能量10¹⁹GeV......

好了，展望未来，打住！现在我们来刨根问底：这个折腾这么久的想法是怎么来的？——“往祖坟上刨”！

只看两个公式(国际单位制SI)：

其一、牛顿的万有引力公式（质点模型）：

$F=G\frac{Mm}{r^{2}}$

其二、库伦的静电力公式（点电荷模型）：

$F=k\frac{Qq}{r^{2}}$

这种关于距离的“反比平方”关系还广泛存在于电流元间的安培定律、各向同性的辐射等等。

看看这两个公式，再想想麦克斯韦老人家的“教导”，你很难不琢磨点儿什么！