物理学笔记一则（1）：“万能方程”

      昨天点开科学网首页：“李轻舟：悲剧”赫然入目，着实吓了我一跳——俺咋就悲剧了呢？

  开个玩笑，咱们书归正传......

  话说当年有门课叫《数学物理方法》，主要包括复变函数和数学物理方程（“偏微分方程”与“特殊函数在物理学中的应用”），主讲人Z教授是位讲课慢条斯理的老头儿，我们都挺喜欢他，却免不了私下攒了一个稍显“恶毒”的段子：Z老师的课，你大可打个盹儿，因为你醒了会发现他老人家还在讲你去见周公之前的部分......

   Z老师讲课极其仔细，生怕我们漏掉一个细节。期末时，他老人家还把用了几十年的手写讲义（稿签纸都发黄发脆了......）贡献出来，复印成册供我们作复习资料——这份讲义资料连同当年的各种笔记，我一直保存着，有时想起一些问题，还会拿出来翻翻。

   在讲义中，Z教授的有些表述属于“老派的风格”，与现行的数学表述（专业数学文献里表述）略有不同。最令我印象深刻的是一个他老人家“总结”的“万能方程”——“万能”这个名字是我取的，当然是定域的“万能”（我不相信有非定域的“万能”），三角函数里不是也有个一组“万能公式”么？我不确定这个“方程”是否Z教授原创，他老人家没说，我们也没问：

       考虑如下类型的偏微分方程：

      $\left ( \bigtriangledown ^{2}+A\frac{\partial }{\partial t}+B\frac{\partial^2 }{\partial t^2}+C\cdot V \right )\cdot \Psi =0$

式中，A、B、C是三个常数；V=V(x,y,z)是某个实函数； $\Psi =\Psi \left ( x,y,z;t \right )$ 是偏微分方程“待求”的“函数解”——即“状态函数”； $\left ( x,y,z \right )\in \Omega$ ， $\Omega$ 是三维空间中的某个区域；t为任意时刻。

     这个“万能方程”在“形式上”涵盖了“理物”基础中重要的基本偏微分方程——不信？请看（讲义内容+我的笔记与补充）：    

   （1）不妨设

$A=0,B=-\frac{1}{a^{2}},C=0$

若 $a=\sqrt{\frac{Y}{\rho }}$ ，表示机械波在均匀弹性介质中的传播速率，Y为杨氏模量， $\rho$ 为介质密度，这个方程即为均匀弹性介质中的机械波波动方程，态函数物理意义为空间位移或角位移；若a=c，即真空中的光速，这个方程可以表示真空中平面电磁波的波动方程，态函数物理意义为电场强度或磁场强度。

    （2）不妨设

$A=-\frac{1}{\kappa },B=0,C=0$

$\kappa$ 为扩散率或温度传导率，这个方程可以表示基于傅里叶定律的扩散或传导方程，态函数的物理意义为温度。

     （3）不妨设

$A=0,B=0,C=0$

这便是刻画稳定场的拉普拉斯方程，态函数的物理意义可以是温度（温度场）也可以是电势（静电场）。

      （4）不妨设

$A=\frac{2im}{h},B=0,C=-\frac{2m}{h^{2}}$

此处h表示约化普朗克常量ћ，这便是非相对论性薛定谔方程，态函数的物理意义即波函数。

    上述方程主要刻画各项均匀同性与“无源无汇”的情况（态函数在空间的分布与时间上的演化）。若是“有源”或“有汇”的情况，可以“实事求是”地“改造”方程（等号右边的“0”），比如连续性方程、泊松方程等。

        我一度把这个“万能方程”视为跨物理学各具体领域的一个“形式公理”，现在我更倾向于把它理解为一个“形式意义”上的“基本模型”（“原模型”）——从一个基本“形式”出发，根据具体情况的需要，衍生出各种各样的“具体模型”......

        It's amazing!