专题：广义相对论与时空弯曲提纲

按：以前遇到过一个法学背景的朋友（相当“不靠谱”）前来交流《时间简史》的阅读体会，促使我思考如何为非物理或非数学背景的朋友介绍狭义或广义相对论。后来，我琢磨出三个原则：

（1）大家“畏惧”物理，其实主要是“畏惧”其中的数学形式（物理学探究的自然现象本身有什么可怕的呢？），所以尽量避开复杂的数学表述，用伽利略（在《关于托勒密和哥白尼两大体系中的对话》）的套路展开。但应指明深入探讨所需要的数学工具。

（2）举例子，尽量从直观经验或者吻合直观经验的经典力学出发；表述时尽量用“几何手段”、少用“分析手段”（方程等）和“代数手段”（矩阵等）。但应指明其中为了表述简洁不得不（如果有）丢失的一些信息。

（3）尽量避免目前“争议性”过大的话题，避免陷入“玄想”——因为要说明，不得不调用“可怕”的数学表述，但可以提供一些更深入的文献（根据数学水平）。

1、 概念准备

分析力学—达朗贝尔原理： $F_{i}+N_{i}-m_{i}\ddot{r_{i}}=0$

引入惯性力 例：作匀加速运动车厢中的单摆

狭义相对论—光速不变原理：光速对任意参考系恒定

引入“光信号传递”连结“固有量”与“相对量”——相对论分析的基本思路，为“细致”（较经典力学而言）考察相对运动奠定基础

广义相对论—等效原理：匀加速参考系等价于均匀引力场（弱场近似思想！）

  $\Leftrightarrow$ 惯性力等价于万有引力

2、 特殊工具

闵可夫斯基几何（伪欧氏几何）

狭义相对论中“同时性”及“时间间隔”的绝对性被破坏 $\Rightarrow$ 引入“时空”统一概念

闵氏时空图、闵氏坐标、闵氏度规、世界线

“弯曲”的操作性定义：在该区域（空间、时空）中任意子区域，欧氏空间的几何法则失效。

例：欧氏二维平面与二维球面上的三角形内角和问题

这种“弯曲”称为“内禀弯曲”，从拓扑学的角度考虑，即这种“弯曲”不能通过欧氏空间的等“测度”（距离）变换得到。

例：纸的变形

  “弯曲”的度量 $\Rightarrow$ 引入“（内禀）曲率”概念：测量几何量与相应的预期几何量（欧氏法则确定）的差——高斯曲率

与几何学中的空间弯曲性不同，“时空”的弯曲性不具有表观性！

3、 逻辑过程

逻辑起点：

1） 等效原理—不能通过“爱因斯坦舱”中的任何物理实验判断“舱”处于均匀引力场还是匀加速参考系

例：地球表面附近的自由落体实验与以g为加速度运动的宇宙飞船（忽略天体的引力作用）中的落体实验。

2） 狭义相对论引理：时间变化沿加速场方向变快

例：作匀加速运动的火箭前后两钟的快慢问题

则：

 P：时间变化必须沿引力场反方向变快（引力场越强，时间流逝越慢）

反证法检验：

     假设非P为真

     则我们可以通过非P区别均匀引力场与匀加速参考系

              与等效原理矛盾

故假设错误，即P为真

引入闵氏图：

均匀引力场中，恒定位势差的两物体在各自相同固有时间间隔内形成的世界线与任一条同时校正曲线均无法闭合

$\Rightarrow$ 不满足欧氏几何

$\Rightarrow$ 该时空具有弯曲性！

结论：

    存在引力场的时空区域呈现弯曲性，即现实时空呈现弯曲性！

    弯曲时空的宇宙图像是经典力学不曾预言的，是广义相对论的“专利”！

经典力学（牛顿力学）建立了物质与万有引力的联系：

$F=G\frac{Mm}{r^{2}}$

         即物质是引力之源。

    狭义相对论建立了相对运动与时空的关系，

    广义相对论进一步建立了万有引力与时空的关系，搭建起了物质与时空的桥梁。

归根结底，广义相对论是考察物质与时空通过万有引力建立的联系的学问！

深入讨论需借助更为强大的数学工具：张量分析、黎曼几何、微分几何等

参考资料

1.（美）理查德·费曼，费曼物理学讲义（第二卷）

2.俞允强，广义相对论提纲(见俞允强教授著《热大爆炸宇宙学》附录)

广义相对论提纲.pdf