数学家揭穿了GPS的假设，提出来改进方案

诸平

Fig. 1 Mireille Boutin

Fig. 2 A tourist following GPS to a manta ray dive tour drove into Honokohau Small Boat Harbor on April 29, 2023. (Christie Hutchinson)

据荷兰埃因霍温科技大学（Eindhoven University of Technology简称TU/e）2024年8月28日提供的消息，数学家揭穿了GPS的假设，提出来改进方案（Mathematicians debunk GPS assumptions to offer improvements）。

在一项新的研究中，埃因霍温科技大学(TU/e)的米雷耶·布廷（Mireille Boutin）获得了重要的结果，有助于使用非常规的数学技术改进全球定位系统(global positioning system简称GPS)技术。

暑假即将结束，对许多在自驾去外地旅游的人来说，他们要开很长时间的车回家，依靠GPS导航设备才能安全回家。但时不时地，GPS设备会提示奇怪的方向，或者对你的位置产生短暂的困惑。但到目前为止，没有人确切知道卫星何时处于足够好的位置，以便GPS系统提供可靠的方向。埃因霍温科技大学的米雷耶·布廷和她的同事格雷戈尔·坎伯（Kemper_Gregor）已经转向数学来帮助确定你的GPS系统何时有足够的信息来准确地确定你的位置。

“200米后右转。”这是许多人从GPS系统听到的典型指示。毫无疑问，GPS技术和移动导航应用程序的进步使GPS在现代汽车旅行中发挥了重要作用。

但是，严格遵守GPS设备的指示可能会导致不良情况。不那么严重的可能是左转而不是右转，而更严重的可能是开车撞进了港口（Fig. 2）——就像2023年两名游客在夏威夷（Hawaii）所做的那样(Hawaii Tourists Following GPS Directions Rescued After Driving Car 'Straight into the Harbor')。后一种情况在很大程度上是一个例外，人们可能会想:“这种情况多久发生一次，为什么会发生? ”

GPS和你的能见度（GPS and your visibility）

“GPS系统的核心是在20世纪60年代中期开发的。当时，背后的理论并不能保证所给出的位置是正确的，”数学与计算机科学系教授米雷耶·布廷说。

当得知计算物体在地球上的位置依赖于一些巧妙的数学时，也就不足为奇了。自早期以来，它们并没有太大变化。这些是我们都使用的GPS系统的核心，但它也值得更新。

因此，米雷耶·布廷与她在德国慕尼黑工业大学（Technical University of Munich）的同事格雷戈尔·坎伯一起转向数学来扩展GPS系统背后的理论，他们的发现于2024年7月22日已经在《应用数学进展》（Advances in Applied Mathematics）杂志网站发表——Mireille Boutin, Gregor Kemper. Global positioning: The uniqueness question and a new solution method. Advances in Applied Mathematics, 2024, 160: 102741. DOI: 10.1016/j.aam.2024.102741. Pub Date : 22 July 2024. (arXiv:2310.09261, [Submitted on 13 Oct 2023])

GPS是如何运作的？（How does GPS work?）

在揭示米雷耶·布廷和格雷戈尔·坎伯的重大发现之前，我们先来了解GPS是如何运作的？

全球定位就是利用卫星发送的讯号来决定地球上设备的位置。卫星发送的讯号携带两个关键讯息——卫星在太空中的位置以及卫星发送该位置的时间。顺便说一句，时间是由卫星上非常精确的时钟记录的，通常是原子钟。

由于有了原子钟，卫星可以发送非常精确的时间，但最大的问题是用户设备(无论是GPS导航设备、智能手机还是跑步手表)上时钟的准确性。

米雷耶·布廷说：“实际上，GPS结合了精确和不精确的信息来确定设备的位置。GPS可能会被广泛使用，但我们找不到任何理论依据来保证从卫星信号中获得的位置是唯一和准确的。”

谷歌说“四”(Google says ’Four’)

如果你在谷歌（Google）上快速搜寻GPS导航所需的最少卫星数量，多个来源报告显示你至少需要四颗卫星。但问题不仅在于你能看到多少颗卫星，还在于它们能形成什么排列?对于某些安排，确定用户位置是不可能的。但具体是什么安排呢?这就是研究人员想要找出的答案。

米雷耶·布廷说：“我们在科学论文中发现了似乎被广泛接受的猜想，但我们找不到任何严谨的论据来支持它们。因此，我们认为，作为数学家，我们也许能够填补这一知识空白。”

线性方程更容易解（Linear equations are easier to solve）

为了解决这个问题，米雷耶·布廷和格雷戈尔·坎伯将GPS问题简化为在实践中最有效的方法：关于未知变量的线性方程式。

“一组线性方程是我们所能期望的最简单的方程形式。说实话，我们很惊讶，GPS问题的这套简单线性方程居然还不为人所知!”米雷耶·布廷补充道。

唯一性问题（The problem of uniqueness）

准备好线性方程式后，米雷耶·布廷和格雷戈尔·坎伯仔细研究了方程式的解，特别注意方程式是否给出了唯一的解。

“唯一解意味着方程的唯一解就是用户的实际位置，”米雷耶·布廷指出。

如果方程有多个解，那么只有一个解是正确的——也就是真正的用户位置——但GPS系统不知道该选择哪一个，可能会传回错误的解。

四颗卫星可能还不够（Four may not be enough）

研究人员发现，当卫星处于一种被称为“两片旋转双曲面”（‘hyperboloid of revolution of two sheets’）的特殊结构中时，就会出现非唯一解。

米雷耶·布廷说：“有多少颗卫星发送信号并不重要——如果它们都位于其中一个双曲面上，那么方程可能有两个解，因此GPS选择的那个解可能是错误的。”

但是，关于你需要至少四颗卫星来确定你的位置的说法又如何呢?“拥有四颗卫星是可行的，但方程的解并不总是唯一的，”米雷耶·布廷指出。

为什么数学很重要（Why mathematics matters）？

对米雷耶·布廷来说，这项工作展示了数学的力量和应用。米雷耶·布廷说：“我个人很喜欢数学是一个非常强大的工具，有很多实际应用。我认为非数学家之人可能不会那么容易看出其中的联系，因此，找到数学可以发挥作用的日常问题的清晰且令人信服的例子，总是一件好事。”

米雷耶·布廷和格雷戈尔·坎伯研究的核心领域是代数几何（algebraic geometry），其中抽象的代数方法被用于解决现实世界的几何问题。

“代数几何是一个被认为非常抽象的数学领域。我很高兴有人提醒我，任何数学知识，无论它多么抽象，都可能在某种程度上有实际应用，”米雷耶·布廷说。

上述介绍，仅供参考。欲了解更多信息，敬请注意浏览原文或者相关报道。

Abstract

We provide a new algebraic solution procedure for the global positioning problem in n dimensions using m satellites. We also give a geometric characterization of the situations in which the problem does not have a unique solution. This characterization shows that such cases can happen in any dimension and with any number of satellites, leading to counterexamples to some open conjectures. We fill a gap in the literature by giving a proof for the long-held belief that when m≥n+2, the solution is unique for almost all user positions. Even better, when m≥2n+2, almost all satellite configurations will guarantee a unique solution for all user positions. Our uniqueness results provide a basis for predicting the behavior of numerical solutions, as ill-conditioning is expected near the threshold between areas of nonuniqueness and uniqueness. Some of our results are obtained using tools from algebraic geometry.