研究小组证明量子复杂度在很长一段时间内呈指数级线性增长

诸平

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据德国亥姆霍兹研究中心协会（Helmholtz Association of German Research Centres）2022年3月28日提供的消息，德美科学家联合研究小组已经证明，量子复杂度在很长一段时间内呈指数级线性增长（Research group proves quantum complexity grows linearly for an exponentially long time）。

物理学家知道量子物理学和引力理论之间的巨大鸿沟。然而，在最近几十年，理论物理学提供了一些可信的猜想来弥补这一差距，并描述复杂量子多体系统的行为，例如宇宙中的黑洞（black holes）和虫洞（wormholes）。现在，德国柏林自由大学（Freie Universität Berlin）和德国柏林亥姆霍兹材料与能源中心（Helmholtz-Zentrum Berlin für Materialien and Energie简称HZB)以及美国哈佛大学（Harvard University）、麻省理工学院（MIT）等单位的科学家构成的一个理论小组合作，已经证明了一个关于此类系统复杂性行为的数学猜想，从而增加了这个纽带的可行性。相关研究结果于2022年3月28日已经在《自然物理学》（Nature Physics）杂志网站发表——Jonas Haferkamp, Philippe Faist, Naga B. T. Kothakonda, Jens Eisert, Nicole Yunger Halpern. Linear growth of quantum circuit complexity. Nature Physics,  Published: 28 March 2022. DOI: 10.1038/s41567-022-01539-6. https://doi.org/10.1038/s41567-022-01539-6

参与此项研究的有来自德国柏林自由大学（Freie Universität Berlin, Germany）、柏林海尔姆霍尔茨材料与能源中心（Helmholtz-Zentrum Berlin für Materialien und Energie, Berlin, Germany）、德国科隆大学（University of Cologne, Germany）；美国哈佛－史密松天体物理中心（Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics, Cambridge, MA, USA）、美国哈佛大学（Harvard University, Cambridge, MA, USA）、美国麻省理工学院（Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA, USA）以及美国马里兰大学（University of Maryland, College Park, MD, USA）的研究人员。

柏林自由大学和HZB的理论物理学家延斯·埃泽特教授（Prof. Jens Eisert）说：“我们找到了一个非常简单的方法来解决一个重要的物理问题。”“我们的结果为理解从黑洞到复杂多体系统的混沌量子系统的物理性质提供了坚实的基础，”延斯·埃泽特补充道。

柏林物理学家乔纳斯·哈佛坎普（Jonas Haferkamp）,菲力浦·法伊斯特（Philippe Faist）, 娜伽·克塞柯达（Naga Kothakonda）和延斯·埃泽特（Jens Eisert），以及尼科尔·扬格·哈尔彭（Nicole Yunger Halpern，之前在哈佛大学，现在在马里兰大学)，仅仅用笔和纸，即纯粹的分析，成功地证明了一个猜想，该猜想对复杂的量子多体系统有重大影响。延斯·埃泽特团队的博士生，也是这篇论文的第一作者乔纳斯·哈佛坎普解释说：“这发挥了作用，例如，当你想描述黑洞甚至虫洞（wormholes）的体积时。”

复杂的量子多体系统可以通过所谓的量子比特电路来重建。然而，问题是:需要多少基本操作来准备所需的状态?从表面上看，这个最小的操作数量似乎总是在增加系统的复杂性。斯坦福大学（Stanford University）的物理学家亚当·布朗（Adam Brown）和伦纳德·苏斯金德（Leonard Susskind）将这种直觉表述为一个数学猜想:多粒子系统的量子复杂性首先应该在天文数字的长时间内线性增长，然后在更长的时间内保持在最大复杂性的状态。他们的猜想是由理论虫洞的行为所激发的，虫洞的体积似乎在永恒的长时间内线性增长。事实上，我们进一步推测，虫洞的复杂性和体积，从两个不同的角度来看，是一个相同的量。“这种描述中的冗余也被称为全息原理（holographic principle），它是统一量子理论（unifying quantum theory）和引力（gravity）的重要方法。亚当·布朗和伦纳德·苏斯金德关于复杂性增长的猜想可以被看作是对全息原理的合理性检验，”乔纳斯·哈佛坎普解释道。

该研究小组现在已经证明，随机电路（random circuits）的量子复杂性确实随时间线性增加，直到它在一个与系统大小成指数关系的时间点达到饱和。这种随机电路是多体系统动力学的有力模型。证明这一猜想的困难在于，很难排除存在“捷径（shortcuts）”，即复杂性远低于预期的随机电路。乔纳斯·哈佛坎普说：“我们的证明是几何方法和量子信息论方法的惊人结合。这种新方法使得解决绝大多数系统的猜想（conjecture ）成为可能，而不需要解决个别状态的臭名昭著的难题。”

“在《自然物理学》（Nature Physics）杂志发表的研究成果是我获得博士学位的一个亮点，”这位年轻的物理学家补充道，他将在今年年底进入哈佛大学（Harvard University）工作。作为一个博士后，他可以在那里继续他的研究，最好是用笔和纸的传统方式，以及与理论物理领域最好的思想交流。

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Theoreticians show which quantum systems are suitable for quantum simulations

Abstract

The complexity of quantum states has become a key quantity of interest across various subfields of physics, from quantum computing to the theory of black holes. The evolution of generic quantum systems can be modelled by considering a collection of qubits subjected to sequences of random unitary gates. Here we investigate how the complexity of these random quantum circuits increases by considering how to construct a unitary operation from Haar-random two-qubit quantum gates. Implementing the unitary operation exactly requires a minimal number of gates—this is the operation’s exact circuit complexity. We prove a conjecture that this complexity grows linearly, before saturating when the number of applied gates reaches a threshold that grows exponentially with the number of qubits. Our proof overcomes difficulties in establishing lower bounds for the exact circuit complexity by combining differential topology and elementary algebraic geometry with an inductive construction of Clifford circuits.