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毕达哥拉斯学派及后世关于√2不是有理数的证明，

是有效的吗？ 

杨六省

陕西省长安师范学校

摘要 揭示毕达哥拉斯学派和现行教科书关于√2不是有理数的证明是无效的，并给出有效证明。

关键词 有理数；无理数；相容性；反证法；排中律

1毕达哥拉斯学派的证明

M.克莱因说，“√2与1不能公度的证明是毕达哥拉斯学派给出的。……这个证明当然和现今对√2为无理数的证明相同”^[1]37-38。

下面是毕达哥拉斯学派的证明：设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为α：β，并设这个比已表达成最小整数之比。于是根据毕达哥拉斯定理得α²=2β²。由于α²为偶数，α必然也是偶数，因任一奇数的平方必是奇数。但比α：β是既约的，因此β必然是奇数。α既是偶数，故可设α=2γ。于是α²=4γ²=2β²。因此β²=2γ²，这样β²是个偶数。于是β也是偶数。但β同时又是奇数，这就产生了矛盾。^[1]37-38

2现今教科书的证明

假设边长为1的正方形的对角线的长可写成两个整数α，β的比α/β（α，β互素），于是有（α/β）² = 2，α² =2β².

因此，α²是偶数，α是偶数.

于是可设α=2γ,那么α²=4γ²=2β²,β²=2γ².

这就是说，β²是偶数，β也是偶数.这与“α，β是互素的两个整数”的假设矛盾。^[2]24

3揭示毕达哥拉斯学派和现行教科书关于√2不是有理数的证明是无效的

不难看出，无论是毕达哥拉斯学派，还是现今教科书的证明，均把√2不是有理数的矛盾命题表成了√2 = α:β（α，β互素），且它们均认可由假设前提可推出“α是偶数”。

√2=α：β可以写成α² =2β²（β是整数）的形式，因为假设β是整数总是能够得到满足的。正是由于“β是整数”这种先行性假设（注：这种假设的先行性在毕达哥拉斯学派和现今教科书的证明中是被隐含的），所以才能有2β²和α² 是偶数的推论，从而α不可能是奇数，因为奇数的平方不可能是偶数。现在再假设α也是整数。由于α不是奇数，于是人们推出α是偶数，但笔者认为，不能认可这一推理。理由是：①既然“α是整数”只是一个假设，所以，此假设以及由它所推出的“α是偶数”这一结论就都是可质疑的，是需要接受审查的，事实上，这个审查“时间点”在逻辑上应该是唯一的。②有一个疑问是，“α不是奇数就是偶数”这一推理是在合法的应用排中律吗？由于所取论域不同，答案会是截然相反的。如果说，为了应用反证法的缘故，α短暂脱离α² =2β²（β是整数）是被允许的话，那么，最终让α回归α² =2β²（β是整数），并揭示“α是偶数”与α² =2β²（β是整数）是否相容，便是判断“α不是奇数就是偶数”这一推理是否有效的唯一方法。

笔者的具体质疑是：既然对于α² =2β²（β是整数）而言，α是偶数；对于β² =2γ²（γ是整数）而言，β是偶数，那么，为什么在论证中只提α和β是偶数，而不提被蕴涵在后面的γ、δ、……同样也是偶数呢？

事实上，如果对于α² =2β²（β是整数）而言，α是偶数，那么，就应该存在（蕴涵）一个无穷偶数序列：α、β、γ、δ、……。于是，可推出α、β、γ、δ、……中的每一个均含有无穷多个因数2（注：理由是，例如，关于α，开始假设α=2γ；后面还会假设γ=2ε；……），但这与曾先后假设的β和α均是整数相矛盾，这表明，对于α² =2β²（β是整数）而言，毕达哥拉斯学派关于“α是偶数”的推理是错误的。

正是由于毕达哥拉斯学派的上述推理错误，才使得有理数与无理数之间的矛盾被转换成了整数系统内部的某种矛盾，但这是荒谬的。同时，其后续推理也是没有意义的，因为这种推理就如同爬楼梯中“无法通过第二层”（注：这里是指无法证明“α是偶数”），却要拿“第三层是真的”说事（注：这里是指，“α是偶数”参与其中的后续推理被认为是有效推理）。为了帮助理解，我们还可以举一个有趣的例子。一个小伙，喜欢上了一位漂亮的姑娘。于是，他开始推理：我们结婚后，会生一个漂亮的宝宝，如何如何。但问题是，如果两人结婚根本就是不可能的事，试问，这样的推理有意义吗？有效吗？我们能够认可这种推理结论为真吗？为了下文行文方便，我们不妨把这种先决条件并不存在的推理，叫做痴情人推理。但是，需要说明的是，痴情人推理不同于反证法。应用反证法，开始假设了什么，到最后都会根据推出矛盾而去否定开始的假设条件，但痴情人推理不是这样，例如，毕达哥拉斯学派的证明，前面假设了α为整数，到后面就不再有下文了；尤其让人不可理解的是，其最后所否定的竟是一个与所给条件α² =2β²不相干的东西，难道不是这样吗？现今的人们都知道，α和β不可能全是整数，那么，何来互素与否之说？简言之，在毕达哥拉斯学派的证明中，并不是把“α为偶数”当做一个准备予以否定的假设条件来对待，相反，“α为偶数”被认为是成立的。正是由于没有及时做到对“α为偶数”予以否定，所以才会出现由“α，β互素”到“α，β非互素”这种“空对空”的痴情人推理。即使抛开“α为偶数”这一步推理的正确性不论，仅从原则上考虑，我们也有理由质疑毕达哥拉斯学派及后世的证明思路是否符合反证法的定义？理由是，排中律是间接证明方法的根本^[3]314，但排中律并非无条件有效，具体到我们所讨论的问题就是，因为α和β不可能全是整数，所以，“α，β互素”和“α，β非互素”就都是毫无意义的伪概念，它们并无真假可言。因此，毕达哥拉斯学派及后世试图在“α，β互素”和“α，β非互素”之间应用排中律以证明“α，β互素”为假，这是不可能的事。简言之，毕达哥拉斯学派及现今教科书是不合理的应用了反证法，因而其论证是无效的。究其根源，是由于认为把“α、β互素”作为假设条件是合理的，但事实上，此假设隐藏着不易察觉的逻辑层次方面的陷阱。试问，人们是否想过，真的能够越过“α和β全是整数这道坎儿”吗？如果不能，何以谈“互素”？也许有人会说，“我们不是已经越过这道坎儿了嘛，不是已经在整数范围内进行推理了吗？”但问题是，这种“越境”合法吗？换句话说，相关的推理有效吗？请不要忘记一个常识，再逼真的魔术，也是假的（注：这里的“魔术”是指，有理数与无理数之间的矛盾被转换成了整数系统内部的某种矛盾）！总之，我们不可以离开α² =2β²（β是整数）这个具体条件而进行推理，否则，推理的有效性是难以得到保证的，换一种说法，推出的结论可能是荒谬的，例如，推出的“α和β非互素”这个结论就是如此，因为无论是“互素”还是“非互素”概念，涉及的两个对象应全是整数，但α和β不全是整数，何以会有“互素”或“非互素”之说？

还要说明的是，虽然毕达哥拉斯学派及后世也发现由“α是偶数”会导致矛盾（注：这里是指，由假设“α，β互素”推出了“α，β非互素”），但我们不能认可其间的推理是有效的。理由是，依据问题的性质，√2是不是有理数的矛盾，只会发生在有理数与无理数的“交界处”，换一种说法，只会发生在“α是整数”这个假设上，再具体一点就是，只会发生在由“α是整数”推出的“α是偶数”这个结论上。然而，毕达哥拉斯学派所推出的矛盾并不是发生在有理数与无理数的“交界处”，更确切地说，这种矛盾并不属于“直接与‘是整数’相矛盾”的矛盾或“直接与‘是偶数’相矛盾”的矛盾，所以，我们不能认可毕达哥拉斯学派的推理是有效的。笔者认为，在应用反证法的过程中，如果发生从√2 = α:β推出的是整数系统内部的某种矛盾，那么，毫无疑问，这种关于√2不是有理数的证明必是无效的，至于具体错误，这要根据具体证明而进行揭示。

基于上述分析，笔者反对把一开始的假设条件写成“√2=α：β（α，β互素）”，但也不赞同写成“√2=α：β（α，β均为整数）”，因为一个模糊空间无疑是狼能够混入羊群的最好不过的条件了（注：①“狼”指无理数，“羊群”指整数系统。②由于没有明确固定α和β究竟哪一个可以是整数，因而其中的每一个似乎都可能是整数，这样，就容易把α和β都当做是整数，于是，“引狼入室”的事自然就发生了）。合理的做法应该是，先假设其中的一个是整数（注：这一点总是能够得到满足的），然后，再假设另一个也是整数，看是否会引发矛盾，若引发矛盾（再次强调：这里指的不是整数系统内部的某种矛盾，而是指“直接与‘是整数’相矛盾”的矛盾或“直接与‘是偶数’相矛盾”的矛盾），就否定后者，但前者不动。

4 本文作者的证明

命题：对于√2=α：β，其中的α和β不可能全是整数。

证明：我们总可以把√2=α：β写成α² =2β²（β是整数）的形式。

①α不可能是偶数

假设α是偶数，设α=2γ（γ是整数）,代入α² = 2β²,得 β² =2γ² 。如果α² =2β²（β是整数）中的α是偶数，那么，β² =2γ²（γ是整数）中的β也是偶数；……这样下去，就会推出α和β均含有无穷多个因数2（注：例如，关于α，开始假设α=2γ；后面还会假设γ=2ε；……），从而说明α和β均不是整数，但这与先后假设的β是整数和α是偶数相矛盾，故对于α² =2β²（β是整数）而言，α不可能是偶数。

②α不可能是奇数

理由是，奇数的平方不可能是偶数。

综上所述，对于α² =2β²（β是整数）而言，α不可能是整数，换一种说法，对于√2 =α：β，其中的α和β不可能全是整数。

5 结束语

从表面看，“α，β互素”这个假设条件和“α是偶数”这个推理结论似乎成全了毕达哥拉斯学派的反证法，因为这两条将使得“α，β互素”与“α，β非互素”这一对矛盾命题“能够被推出”，但事实上，上述假设条件是不合理的，上述推理结论是错误的。笔者还想说的是，人们总是一门心思地想着，如果α和β全是整数，那么，α：β可表成最简分数就是天经地义的事，这一点没错。但是，怎么就不去想一想，对于√2 = α:β而言，如果α和β不全是整数，难道也要在论证中应用“α，β互素”这一假设条件不成？若真是如此，其先决条件是务必表明“α和β全是整数”是可满足的，但是，你能够不犯偷换概念（指不同论域）的逻辑错误而做到这一点吗？

    本文内容来源于文献[4]。

参考文献：

[1]美]M.克莱因.古今数学思想[M]，第1册．张理京，张锦炎译．上海：上海科学技术出版社，1979年第1版,第37-38页.

[2]马复 主编.义务教育教科书数学（八年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2014年第2版，第24页.

[3]美]M.克莱因.古今数学思想[M]，第4册．张理京，张锦炎译．上海：上海科学技术出版社，1979年第1版,第314页.

[4]杨六省.悖论是什么——70个悖论的消解[M].武汉：汉斯出版社，2020.6，第20-32页.