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孤立波与孤立子
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王 振 东
现代自然科学正发生着深刻的变化，非线性科学贯穿着数理科学、生命科学、空间科学和地球科学，成为当代科学研究重要的前沿领域。孤立波与孤立子正是推动非线性科学发展的重要概念之一，而此概念最初的提出，正好又来源于流体力学的研究。孤立子起源于孤立波，它已在非线性光学、磁通量子器件、生物学、等离子体及光纤孤立子通讯等一系列高科技领域有了令人瞩目的应用，所以了解孤立波与孤立子的研究历史，对于学习与研究力学史和科学史，均是很有必要的。
孤立波的发现历史
拉塞尔（John Scott Russell 1808-1882，曾有译为罗素，现根据北京大学周光坰先生所译，译为拉塞尔）是苏格兰一位优秀的造船工程师，对船体的设计有独到的见解，作过重要的贡献。1834年8月为研究船舶在运动中所受到的阻力，他在英国爱丁堡格拉斯哥运河中，牵引船舶进行全尺寸的实验与观测。最初，牵引船舶的动力是两匹马，以后改用滑轮和配重系统。在实验中，他观察到一种他称作孤立行进波的现象。当时他骑着马追踪观察一个孤立的水波，在浅水窄河道中的持续前进，这个水波长久地保持着自己的形状和波速。这一奇妙现象的发现，就是孤立波和现今关于孤立子研究的起始。
拉塞尔后来在做学术报告和发表文章时，是这样描述他的发现的：
“我把注意力集中在船舶给予流体的运动上，立刻就观察到一个非同寻常而又非常绚丽的现象，它是如此之重要，以致我将首先详细描述它所表现出来的外貌。当我正在观察一只高速运动的船舶，让它突然停止时，在船舶周围所形成的小波浪中，一个紊乱的扰动现象吸引了我的注意。在船身长度的中部附近，许多水聚集在一起，形成一个廓线很清楚的水堆，最后还出现一尖峰，并以相当高的速度开始向前运动， 到船头后，继续保持它的形状不变，在静止流体的表面上，完全孤立地向前运动，成为一孤立行进波，直到河道的转弯处才开始消失掉。”
拉塞尔还继续生动地描述了他对这一现象所做出的反应：
“我立刻离开了船舶停留的地方，准备用步行去跟上它，但发现它运动得很快，我即刻骑上马，在几分钟之内赶上了它，并发现它以一均匀速度沿静止流体表面作孤独的运动。跟随它一英里多以后，我发现它开始逐渐衰减，并在运河的转角处最后消失。这一现象只要船舶快速行驶时，突然让它停止，就可以重复观察到。它是如此的重要和有趣，以致后来诱使我进行了许多有关水波课题的实验。”
为了进一步验证这一现象的存在并了解其性质，拉塞尔在1837年8月又在一长20英尺、宽1英尺的水槽中，进行了一系列受人工控制的实验，获得了与现场实验相同的结果。同时根据这些实验结果，他提出了孤立波传播速度的计算公式，孤立波传播速度与重力加速度，静止水的初始深度，和孤立波的高度有关。
关于孤立波的争论与问题的解决
纵观力学和物理学的发展史不难看到，每当开始引入一种新思想或新概念的时候，往往会受到怀疑和非难，并常会引起激烈的争论，孤立波的命运也是如此。
当时科学界的权威们对拉塞尔的这些结果，一开始时就表示了怀疑和反对。甚至连当时对波动研究颇有造诣的英国天文学家艾里（George Biddell Airy ，1801-1892）爵士，与英国流体力学家斯托克斯（George Gabriel Stokes ，1819-1903）爵士也对此提出质疑，怀疑在静止水面上能存在不变形的行波。他们的怀疑的问题主要有：一个完整的波动为什么会全部在水面上，而不是一部分在水面上，一部分在水面下；波在传播的过程中，为什么波幅不会衰减；波的运动速度也与他们的研究结果不符。
这一争论延续到19世纪70年代才初步得到解决。1862年和1865年H.E.巴津（Bazin,H.E.）对孤立波进行了一系列的实验，证明了拉塞尔的工作是正确的。英国科学家瑞利（John William Strut Rayleigh，1842-1919）在经过仔细的研究后指出，斯托克斯所研究的波，水深与波长之比接近于1，而拉塞尔所发现的孤立波，这一比值接近于0，他们二人研究的具体对象是有差别的，因此各自得到的波的传播速度也就不同。瑞利在1876年发表的著作中，首次使用了孤立波（the solitary wave）这一专门术语。 他说“这就是拉塞尔先生给他描述的那个奇特的波起的名字”（拉塞尔在1840年的报告中，称他发现的波为 A large solitary progressive wave）。
拉塞尔与艾里、斯托克斯的争论，最终于1895年由数学家D.J.科尔特弗（Korteweg ,D.J.）和他的学生G.德.弗里斯（Vires ,G.de）所解决。他们在小振幅与长波的假定下，从流体动力学导出了关于孤立波的方程（后人称它为KdV方程）。这一方程的行波解，在波长趋于无限的情况下，正是拉塞尔所发现的孤立波。KdV方程的提出，从理论上阐明了孤立波的存在，给这场争论划上了句号。
从拉塞尔的发现到KdV方程的提出，大约经历了60年时间，孤立波才为学术界普遍接受。拉塞尔当时已经知道了孤立波的一些重要性质，如：孤立波在传播过程中保持波形和速度不变；两个孤立波碰撞时互相穿透且维持原来的波形和速度；孤立波的波幅愈高，其传播速度愈快，等等。
拉塞尔当时发现孤立波的河流，是流经在苏格兰、爱丁堡Heriot-Watt大学校园附近的 Union Canal 。为纪念拉塞尔这一重要的科学发现，他当年发现孤立波的地方，已被列为历史名胜受到保护。英国 Heriot-Watt 大学在1982年曾举办了纪念拉塞尔逝世100周年学术讨论会，来自世界各地拾几个学科的科学家聚集一堂，热烈地交谈和讨论有关孤立波和孤立子的学术问题。
60年寂静和重又活跃
虽然1895年KdV方程从理论上阐明了孤立波的存在，但当时学术界还没有能回答孤立波是否稳定；两个孤立波碰撞后其速度和波形是否改变；以及在流体以外的其他领域，孤立波是否也存在等重大问题。
从19世纪末到20世纪中，关于孤立波的研究工作处在寂静时期，没有明显的进展。尽管在非线性电磁学、固体物理、流体动力学、神经动力学等学科中，相继提出了一些与孤立波有关的问题，但当时有关孤立波的已有的知识，在新问题面前显得很不够用，且这些问题与应用数学之间相互促进的关系，也没有得到足够的重视。人们似乎已忘记了拉塞尔发现孤立波的重要意义。
经过了约60年的平静时期之后，1955年由于费米（Enrico Fermi）、帕斯塔（John Pasta）、犹拉姆（Stan Ulam）（以下简称FPU）发表了“Studies of nonlinear problem”一文，重新燃起了人们对孤立波的兴趣，使对孤立波的研究又活跃了起来。FPU实验原先是要研究一维非线性动力学系统：一根一维的、连续分布的弦两端固定，将其分成N段，每段当成一个单元；并将每个单元简化成具有相同质量的质点，其间相互作用力包括线性和非线性部分。FPU在Los Alamos的Maniac I计算机上进行数值计算，出乎人们意料地得知能量集中在最低的振动模式。1965年，美国普林斯顿大学的应用数学家Matin D. Kruskal 和贝尔实验室的Norman J. Zabusky 对FPU结果的进两个KdV孤立波的碰撞一步研究发现，若用弦的位移表示，它们正好满足KdV方程。
两个KdV孤立波的碰撞
上图表示两个KdV孤立波的碰撞，可以看到三个特点：孤立波在碰撞前后保持高度不变，像是“透明地”穿过对方；碰撞时两个孤立波重叠在一起，其高度低于碰撞前孤立波高度较高的一个（这表明在非线性过程中，不存在线性叠加原理）；碰撞后孤立波的轨道与碰撞前有些偏离（即发生了相移）。他们在数值实验中，既研究了两个孤立波的碰撞，也研究了四个孤立波碰撞，并首次引入“孤立子”（Soliton）这一术语，用来描述这种具有粒子性质的孤立波。
之后，在固体物理、非线性电磁学和神经动力学等学科里也发现了与孤立波有关的问题，促使人们考虑在流体以外的领域，孤立波是否存在？若存在的话，其表示孤立波演化的微分方程应如何求解？这些问题引起了人们的关注。
目前在不同的著作中，孤立波和孤立子两者含意的区别，并不完全一致。多数作者称波形分布在有限的空间范围内，且具有弹性碰撞性质，即碰撞后保持原有的速度和波形的孤立波为孤立子。而对呈非弹性碰撞的一类，仍称为孤立波。还有的作者称KdV方程和其他类似的方程的单孤立波解为孤立波，多孤立波解为孤立子。当然，也有作者认为，孤立波与孤立子两词沿用至今，已无严格的区别。现在物理学界，亦有人将孤立子简称为“孤子”。
从事孤立子理论研究的数学家们，多数采用以是否弹性碰撞来区分的意见。但物理学家，对孤立子的定义要宽松些，认为只要波的能量有限，且分布在有限的空间或时间范围内，即使在传播过程中波形发生变化（例如光纤中的高阶光孤立子），也都称为孤立子。
孤立子研究进展及其应用
20世纪60年代以来，孤立子的研究有了突飞猛进的发展。除了在流体，还在固体物理、激光、电气工程、等离子体、生物学等领域相继发现了孤立子的存在。而且在数学领域，逆散射方法的提出与推广，也为求解孤立子演化方程提供了有力的数学工具。1972年夏天在美国召开了一次时间长达3周半的孤立子学术讨论会，来自数学、力学、物理学、电气工程、生物学、地质、地球物理等十多个学科的学者聚集在一起，交流对孤立子研究的进展和经验。
由下面的几个例子可看出孤立子研究及其应用的新进展：
在超导研究方面，约瑟夫逊（Brian D. Josephson）效应中的磁通量子实际上就是孤立子，于是将孤立子的研究方法引入进来，现已促进在研发耗能特别小、速度特别快的新型计算机器件上有新进展。
在生物学方面，发现了达维多夫（Davydov A.S.）孤立子，探讨了生物体蛋白质中孤立子的传播问题，为弄清肌肉收缩的机制提供了有力的途径。
孤立子在高科技方面最具代表性的成功应用，是光纤中的光孤立子（亦称光孤子）。它具有长距离传输损耗小、无需中继站，比特率（单位时间传输的信息量）高等优点。联合国教科文组织、国际原子能机构和国际理论物理中心，于1995年2月在意大利联合召开了“光纤中超速传输系统”会议，其内容主要是讨论光纤中的孤立子问题。现普遍认为，光纤孤立子通信有希望成为超高速率和超长距离通信的重要手段。
结语：170多年历史的启示
从1834年流体运动中孤立波的发现，至今正好已有170多年的历史。60年的争论、60年的寂静，和当今在多学科、多领域的重要应用，充分说明了力学基础研究的重要性。力学中基本规律的发现与研究，有极其深刻的意义。
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