动态平衡要求的转移矩阵--《气象随机场-21》

张学文，2014/8/21-26

我们就某时刻（如今天0时）某气象变量（如太阳能强度、温度…）在一个气象场(如全球)中的分布引入了分布函数概念。它回避了气象场各个具体地点的气象变量的具体数值，而仅是笼统地告诉你，不同的气象变量值占据了这个气象场(面积，空间)的比例（如暴雨占了气象场总面积的1%）。我们随后指出临近的两个时刻（一个时间步长）的气象场的气象变量的变化还可以计算出分布函数的转移矩阵。而转移矩阵具有推算下一个时间步长的分布函数的意义（这无形中包括了转移矩阵自己不随时间而变化的认定）。

在这个总思路下,我们介绍了很多气象场的分布函数,而且对个别气象变量还比较深入地讨论了其转移矩阵的一些特点。在这些讨论中我们偏重于对具体气象情况的描述，而比较缺少对应的数学语言描述。也可以说我们是从气象实践中提出了一些在方法论上比较统一的问题。而没有刻板地套数学名词。

本讲则对我们先前的做法、用词所简要的归纳并且把问题引向动态平衡下的分布函数与其转移矩阵问题。

1.       分布函数：我们这里反复使用分布函数一词。其基本的物理含义是在某一个集体中，具有某特征量的个体，各有多少。例如在气象场内的1000个气象站中今天中午的温度为不同值的气象站各有多少，而这就是这个时刻的温度气象场的分布函数（温度是自变量，气象站数量是函数值）。这个函数值被总气象站数量（集体中的个体总数）N除，就获得了气象场中不同温度占有的百分比。它对应数学的概率论中的概率密度分布函数概念，但是又比概率分布概念具体一些。它对应的随机抽象是：在该气象场中任取一个气象站的温度，其温度的概率密度函数就是我们讲的相对分布函数（有时我们忽略了相对二字）。

2.       相空间与相格：这是统计物理学语言。我们把气象场中气象变量的出现范围称为相空间。如某气象场中温度的出现范围是10-40度。这10-40的区间就是相空间。如果我们规定每2度温度差是一个相格，那么气象场的温度相空间就有15个相格。

3.       气象变量离散化：很多气象变量过去被看作是连续变量，但是本研究则经常把它们离散化为有限个相邻（注意它们是有序的）的离散状态区间（相格）。这看似粗糙，可它也为随后的思考认识与计算带来很多好处。

4.       气象场内气象变量的转移矩阵：依据两个相邻时刻的气象场的该气象变量的离散化数据，可以获得（统计出）前时刻的各个气象状态（在那个相格）所对应的气象场中的位置在下一时刻转变为各个气象状态的百分比。不同初始状态与结局状态的不同转变百分比们就构成了一个转移矩阵。另外气象场中的某气象变量的分布函数的转移矩阵也可以从理论上（如目前我们从天文学分析中不仅获得了地球的大气上界获得的太阳能强度的分布函还获得了它对应的转移矩阵）。转移矩阵刻画了该气象变量在该气象场在该状态（相格）的变化的统计特征。但是无力描述（略去了）气象场内各个地点的空气状态的具体变化。尽管如此，我们应当承认气象场内的气象变量的分布函数的转移矩阵是具有普遍意义的刻画气象状态变化的统一的，新思路和新工具。

5.       大的气象场中分布函数的稳定性：面对每个气象场的气象变量的具体资料，我们都可以统计出不同的变量值占有的权重（面积百分比等等）。可以想见，如果气象场是指一个区域很大的温度场的天气图，而天气图上的等温线仅是移动而不是笼罩面积的扩大或者减少，那么不同温度占有的相对面积就可能变化不大或者没有变化。而我们经常看到的天气图上的温度系统主要移动为主。基于如上分析，这种移动并不改变特定温度所笼罩的面积，所以面积足够大的气象场的分布函数随时间具有比较高的稳定性（它不随时间有明显变化）。

6.       稳定性体现着熵最大等理论要求：在我们过去的研究中指出某些气象变量在气象场中的分布函数所以是这样不是其他的，体现了着一种熵达到了它的最大值。或者说分布函数所以稳定在这种分布状态下是熵最大原理的体现。所以分布函数具有稳定性具有比较深厚的理论背景。另外有些气象场的分布函数具有不随时间而变化的品质也可以来自其他的物理背景，如前面讨论的太阳能强度在气象场中的分布函数的稳定性来自天文学，全球的大气气压付出均匀分布来自大气具有准静力学平衡和大气付出理想气体状态方程（见熵气象学书）。

7.       分布函数的动态平衡：如果气象场是指全球的温度，我们容易认可不同温度在全球占有的百分比随时间的变化很小。但是我们也确实知道每个地点的温度的日变化明显。这提示我们气象场的分布函数的稳定性其实是一种动态平衡。所以气象场内气象要素的分布函数具有的稳定性，实际对应着全气象场的温度的动态平衡。转移矩阵是用来表达分布函数的变化的，它也表达（满足）分布函数的动态平衡（的要求）。

8.       转移矩阵是分布函数演化的机制：我们可以说分布函数是对气象场的一种定量描述。但是随后我们引入的分布函数的转移矩阵概念则具有演化规律的色彩。它帮助我们从探索事实走向表达演化规律。我们已经看到一些转移矩阵可以不顾最初的分布函数是什么，而让任意的初始分布逐步变化为一个动态平衡下的分布函数，一个与转移矩阵有关的动态平衡分布函数。

9.       概率论的背景：在我们分析气象场的分布函数时，我们无形中利用了概率论中的概率分布和概率密度分布函数概念。而在我们引入转移矩阵时，在背后支持我们的理论则进而有马尔科夫过程、离散的马尔科夫转移矩阵、马尔科夫矩阵的自乘、马尔科夫矩阵的极限。对此我们这里不细致地一一对号入座了。说好听了，作者自认为这里介绍的内容与概率论的有关内容既有密切联系又互相印证，但是它们不完全等价。也许我们的事例是对概率论的新应用和新事例。欢迎读者自己在联系它们时中提出见解、质疑。

10.    有的分布函数是转移矩阵的一个特征向量：我们已经认识到转移矩阵是每行的各个元素的合计值为1的一种矩阵。我们还知道用当前的分布函数的函数值（已经看做是一个矢量）去乘以转移矩阵以后就获得下一个时刻的分布函数值（对应一个矢量）。而当这种乘法进行多次以后，我们所获得的新分布函数如果与原分布函数是相同的。写成为公式就是：

         xA=x

            这里我们用x表示在离散化情况下的气象场分布函数值的矢量，用A表示转移矩阵。而在线性代数的视角下，x是转移矩阵A的特征向量，并且对应的特征值=1。而满足这个关系的分布函数在马尔科夫状态转移的角度下，它已经是所谓极限分布了。在我们的气象场语言下极限分布函数是处于动态平衡的一种分布函数。此时，分布函数不再随时间而变化，它与转移矩阵相乘依然是原分布函数。

11.    特别关注极限分布函数与转移矩阵的关系：在线性代数的视角下转移矩阵的特征矢量是气象场的一种特殊的分布函数。它是分布函数在与转移矩阵连乘中不再变化的一个矢量，是一种极限分布。而我们后面就特别关注从已经知道的分布（认为它是极限分布）去推求它要求的转移矩阵。如果把气象场的分布函数的存在看作是一种气象现象的存在，那么从分布函数的存在推求出对应的转移矩阵，就具有从现象看到了气象统计规律了。

         我们在后面特别讨论动态平衡下的分布函数与转移矩阵的关系。