太阳能强度的分布函数和转移矩阵.2--《气象随机场-20》

张学文，2014/8/17-21

上一讲最后我们获得了一个以全球为气象场，以太阳能强度为变量的不同太阳能强度的笼罩的地球相对面积与太阳能强度的关系的分布函数，以及经过一个时间步长，当地的太阳能强度变化的权重（百分比）的表。

请注意,我们固然在”之17，18”,中讨论了利用分布函数及其转移矩阵可以做气象变量的分布函数的预报的事。但是我们不想过分突出这个特点而是想突出这个思路的物理意义。而在第19讲讨论太阳能的分布函数和转移矩阵时，我们强调其分布函数和转移矩阵知识是天文学知识的一种变态表达。而且根据天文知识，直接获得了分布函数不随时间而变化的结论。我们分析这个问题显然不是为了做预报，而是在新的视角下看到太阳能知识的新面孔，估量它对气候、天气的影响。我们现在就利用上一讲提出的太阳能强度的转移矩阵做一些讨论,以深化认识。

1.    太阳能强度转移矩阵的含义

上一讲的太阳能强度的转移矩阵表给出了当前的全球气象场中，其太阳能强度为不同值（黑夜的0，和白天的太阳能强度分别是常数1367瓦/平方米的0.5、0.15、…、0.95）时（表的左侧一列），该区域的面积中会有多大的百分比的面积在下一个时刻(经过一个时间步长)继续处于该太阳能强度内，以及以多大的面积比例转移到太阳能强度更大（小）的一个相格（以表的最上面的第一行列出）中。它体现着球形并且运动着的地球上的各地的太阳能强度的变化规律。这种转移矩阵应当标明其一个时间步长究竟是多少时间，最好还注明这是指冬季还是其他季节（这些问题后面有说明）。另外，显然转移矩阵的阶数对应着我们把太阳能强度人工地划分为几个离散状态。

2.    太阳能强度的转移矩阵使太阳能强度的分布函数实现了动态平衡

我们看到在一个时间步长的太阳能强度转移矩阵中除了太阳能强度是0.0（黑夜）和0.95（日射头顶）这两个状态（相格）外，其他的太阳能强度状态继续维持在原相格内的百分比（机会、面积比例）都是0.95（95%），而转移到其上下两个状态的占有的百分比都是2.5%。也就是说，太阳能强度的变化速度与当时的太阳能强度（当时处的相格）无关：大家的转移相对速度（比例）都相同！

注意，转移矩阵的主对角线以外的各个元素的值体现这气象状态从一个状态转移到其他状态的相对转移速度。例如表中的0.025，就表示经过一个时间步长，处于本状态的太阳能强度的面积中有2.5%的面积要变成为相邻状态去。

自己动手按照前面的“之15”给的计算公式，就可以从前一时刻的太阳能强度分布函数与转移矩阵做矩阵乘法，而获得下一个时刻的太阳能强度分布函数。计算表明，如果初始的分布函数如19讲的图1，那么经受这个计算所获得的下一时刻的分布函数依然是原样，而没有变化。即只要转移矩阵就是前面给的转移矩阵，那么它可以保证分布函数经过变换以后确实没有变化。

所谓没有“变化”是指分布函数没有变化，即不同太阳能强度占有的相对面积不变化，而所谓“变换”，是指经过这个时间步长确实有一些地方（面积）的太阳能强度变大或者变小了。

既然这个转移矩阵恰好使原分布函数在一次转移中没有变化，而且由于转移矩阵本身不变化，那么分布函数进行多次转移（矩阵乘法）以后依然是原来的样子。即分布函数在多次转移过程中保持不变化。

确实每经过一个时间步长，总有一些地方从黑夜变成了白天，总有一些地方太阳从最高的位置落下来一些。但是不同太阳能强度所笼罩的面积却是变化中保持不变，这是一种动态的平衡。太阳能强度的转移矩阵就是保证它在变化中维持原比例的一套变化系数（变化速度）。

3.    均匀分布具有稳定性要求的转移矩阵是各个状态（相格）的前后转移比例相同！

可以说我们获得的太阳能强度的转移矩阵是具有很大的实验、凑合的成分。这种凑合的成功似乎告诉我们，一个保持动态平衡的均匀分布（指某气象变量在某气象场中），需要一个转移速度相同（指各个状态，相格）的转移矩阵。即均匀分布（概率论语言）要求的转移矩阵是各个状态（相格）的前后转移比例相同！转移矩阵的主对角线两侧的元素值在各行中相同。

这是普遍关系吗？对此我们在后面再展开一些数学讨论。

4.    一个时间步长究竟有多长

前面讨论太阳能强度的转移矩阵中没有明确一个时间步长究竟有多长。但是我们在19讲中提及一个时间步长可以使某太阳能强度状态变化2.5%（表中的0.025）。而“2.5%”无形中也提示了求得一个时间步长的线索。

我们知道在春分和秋分日，太阳直射地球赤道。于是地球各地都是12小时白天12小时黑夜。即在春分、秋分日，全球各地的太阳能强度是24小时改变了100%。据此，前面我们规定的转移矩阵中的太阳能强度改变2.5%是一个时间步长。这也就说明一个时间步长是一天的1/40之一。一天的40分之一是多少时间？是36分钟(其他场合的时间步长需要另外分析)。

所以我们在太阳能强度转移矩阵中我们所人为规定的世界步长在春分、秋分日对应着36分钟。这样我们就初步解决了一年中的2个日子（春分、秋分日）的太阳能强度转移矩阵的时间步长具体长度问题。不难分析春分、秋分日也是太阳能强度变化最快的时候，在不是春分或者秋分的其他时节，24小时的时间长度不能使全球100%面积都发生过太阳能强度的变化。

假设太阳一直是直射北极（这个设想在天文学看来过分了一些），那么尽管地球24小时依然旋转一周，但是各地的太阳高度却没有变化。此时地球上的太阳能强度的分布函数与现在相同，但是地球上的任何地方看到的太阳高度却是常年不变化的（太阳在天空的方向可以变化），于是各地的太阳能强度也是全年不变化的。也就是说此时的太阳能强度分布函数与现在相同，但是太阳能强度就没有向临近状态（太阳升高、降低）的转移情况了。换句话说太阳如果全年直射北极（或者南极），太阳能强度转移矩阵的主对角线的各个元素的值则都是1，而其左右的值都是0。或者说此时全球的太阳能强度的转移矩阵的转移速度慢到了等于0的程度（转移速度=0）。。

我们知道在春秋分日，太阳的赤纬值δ是0。在夏至日，它是22.5度。在冬至日是-22.5度，而在我们设想的太阳位于北极或者南极时它是90，-90度。

考虑到δ=0的时刻转移矩阵的转移速度最快，δ=90，-90度时转移速度慢到了=0，笔者猜测其转移速度与cosδ应当成正比例,(这个猜想是首次提出，它有待进一步证实或者否定）。

这就是说，把19讲的转移矩阵中的原先的0.025，修改为0.025cosδ就是一个步长（36分钟）的面积转移百分比（转移速度）。这里的δ是当天的太阳赤纬值。而对角线上的元素值是1-0.05cosδ.

我们在天文书籍上可以获得每天的赤纬值，于是我们也就知道了一年中每天的太阳能强度的转移矩阵的转移速度了。

照此计算，在冬至、夏至日，太阳能强度的转移速度最慢。

过去我们含糊地说太阳能是地球气候状况和天气变化的原因。但是太阳能的多少显然决定着地球的冷暖程度。但是气候的年变化、天气的日变化的速度与规模则应当与太阳能强度的变化速度有关。在19讲中给出的太阳能强度的转移矩阵就体现了各地太阳能强度的变化速度。而太阳能强度的转移矩阵的一个时间步长的具体长度随日期的变化也是理解气候与天气变化的环节。

这些知识的揭露是否可以补充到现在时髦的气候变化模型中？这留给有关研究人员考虑吧。