关于空气的一个理想实验征答.4(140409)

张学文，2014/4/9

现在介绍一下我在2011年12月写的一个笔记。它是关于空气柱的总位能的理想分布的分析。它联系这我们这里谈及的管子里的空气的理想实验

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=2024&do=blog&id=780268和http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-781457.html ，http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-781994.html  。鉴于我的物理、数学能力有限，这种分析有什么不妥，欢迎指正。

1.       我们考虑的是引力场中的某空气柱的总能量。它从地面到充分高的空气上界。

2.       认为不同高度上的单位厚度内的空气密度可以是不同的（一般理解是高度越高，密度越低）。或者说空气密度ρ是高度z的函数,即ρ=ρ(z）。显然，Δz内的空气位能是=zρΔz,于是整个空气柱的总位能是

3.       总位能=∫zρ(z)Δz。显然它的值是依赖空气密度随高度而变化的ρ(z)这个函数。或者说空气密度随高度的变化情况不同，空气柱的总位能就不同。

4.       在数学方面，这种一个数值（现在是总位能）的大小依赖于一个未知函数（现在是ρ(z)）的积分，就对应于一个泛函。变分法是对付这种问题的基本技巧。

5.       一个杯子里装着300克的水，而在引力场中，如果我们不去旋转这个杯子，那么这些水都集中在可能达到的最低位置，从而使水的总位能最小。这是中学生都理解的物理现象。

6.       是的物质在引力场中，力图处于位能最小状态。显然这个道理对可压缩的空气也是适用的。

7.       于是我们自然可以提出，对于一个空气柱，在空气密度可以随高度而变化的情况下，空气柱总的位能最小，必然对应一个空气密度随高度的分布函数ρ=ρ(z），以使空气柱的总位能最小。

8.       鉴于空气柱的总位能是前面给出的积分，按照变分法中的欧拉方程（泛函达到极值的条件，对应现在的总位能最小），我们获得前面积分公式中的被积函数zρ(z)对空气密度的微分（d/dρ[zρ(z)]）应当=0。

9.       微分后，就有z+ρ(z)(dz/dρ)=0。解这个方程，我们获得了lnz=-lnρ的关系。或者说高度与空气密度的乘积值是个常数。它对应一个幂函数。

10.    这说明高度低的地方密度大，高度高的地方的空气密度如果按照这个关系计算，则空气柱总位能才是最小的。这样我们就获得了一个物理学的结论。

11.    关于总位能最小时，对应于总位能积分值随空气密度函数（不是变量是函数）的变化=0，其思路与一般求函数极值时，函数对自变量的微分=0的思路是一致的。其细的数学说明见于变分法的知识。

12.    好了关于这个问题暂且谈到此，以后再从气象学上做一些分析。