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邓晓明谈张学文的个体概念等等
说明:下面是邓晓明的文章,转贴于此,文中“张老”二字修改为“张学文”三字。张学文
原贴于: http://blog.tech110.net/?uid-11182-action-viewspace-itemid-61508 2011年10月19日
近日看到了张学文在系列文章中对“个”的概念进行了深入的讨论。下面谈谈我个人的看法。受本人知识面及理解力的限制,如果有错误,或不当的地方,望张学文海涵。
1、同意张学文的说法,“个”是原始的概念和量化的起点
康托(G.Cantor)的老师,也是他的劲敌L. Kronecker有句名言:“上帝创造了自然数,其余都是人的工作。”他还进一步明确地说过:“一切最根本的数学结果最终可以用整数性质的简单形式来表达。”
狩猎、农耕,最原始的计数恐怕就涉及“个”了。给某一类对象“个”一一对应地数数和编号。数数是为了知道多少;编号是为了排序。从另一个方面理解,这个世界在人的眼里,或许就是“离散化”的。虽然时空本身是否具有量子性还没有定论,但一般的情形是,结构与层次是物质存在的普遍方式。从基本粒子到宏观物体,直至星系或星系团都在某一个(如尺度)层次上有其相对稳定的“独立结构”。作为观察者的我们,面对某些类型或同质的“独立结构”,自然就产生了“个”的概念,可见自然数的概念是自然在人脑中的直接反映。这似乎是“上帝创造了自然数”的由来。到了近代才有了关于自然数的相关理论。1889年,皮亚诺(G. Peano)追寻欧几里德的足迹,建立了自然数的公理系统。从而奏响了20世纪初所演绎的公理化热潮的序曲。
对“其余都是人的工作”,我的理解是:在实分析中,通过自然数集N,人为地构造有理数(比例数)集Q,无理数(非比例数)集RQ,进而完成了实数集R的构建。我们知道R是微积分学的基础。这一构建工作的确是神奇的,它使我们经验中,当然也包括超验部分,出现的每一种可能的量“值”,不管是原始、基本的“个”还是有理数的全体,及一时曾令人费解的,结构性计算的信息值,如几何学上的单位边长正方形的对角线长度√2=√1^2+1^2,圆周率π=L/D以及实际问题的方程解等无理数的全体,都统一在了R中,并揭示了数与形的本质联系。正是这种似乎带有很强的主观性的“人的工作”,从N到R,再到微积分,不但彰显了人的智慧,也使人对数量关系的认识,实现了本质上的飞跃。我们知道,通过微积分知识的积累和发展,才有了我们今天技术进步所带来的一切令上帝都会刮目相看的成就。
回顾历史,我们不能忽略这样的事实。关于数的基础理论的构建其实都是后来所做的“补救”工作。如果从出身于路桥工程师的法国数学家柯西(A. Cauchy)的工作算起,距今也只不过200多年。而此前,数学大厦的主体工程早已完工。最初的“连续统”概念则是出于某种直觉。欧几里德在总结前人工作时,把杂乱无章,各种零散的知识统一在了几条“公理”和“公设”之下,从而开创了“公理化”道路的先河。《原本》中的“公理”和“公设”都是有自然直观对象的。“点、线、面”概念的提取,符合我们人脑结构所决定的对自然的反映方式。演绎推理也符合我们的思维方式。虽然“连续统”不是客观实在,是一种虚构的“模型”,但我们的大脑正是通过抽象“模型”与客观世界建立联系的。
2、自然数1就是“个”的形式化符号,而且是不定义概念
张学文提议,在更高的层面上提炼“个”的概念,并枚举了大量事实来说明其普遍性。的确,“个”几乎囊括了我们经验的一切领域。这正是其外延宽泛的体现。这种一般化程度高的对象是高度抽象及可形式化的基础。
东、西方文化是有差异的,汉语在表达数量关系的词句中离不开量词。其中“个”是最通用的一种,其变体也不胜枚举,如只、头、件、次 … 等等。究其原因,或许汉语的文学基因较重,强调形象生动,如“一叶扁舟”的“叶”字也是一个量词。而在大多数西语中,通常都没有“个”这样的量词(罕见)。例如,英语中的量词不能作为单数可数名词的“单位”。一般情况下,直接在可数名词前加上某个自然数来表达多少。其实,在古汉语中也不乏抽掉“个”的词句,如“三人行…”,“一山一寺十僧人”。即使现代汉语中也有不少类似的例子,如“两点定一直线”、“二十五人分成五组”,如说成“两个点定一条直线”、“二十五个人分成五个组”似乎略显啰嗦。可见去掉“个”,在语义和逻辑上丝毫也没有折损及混乱之处。作为高度抽象的形式语言似乎更有必要动用奥卡姆剃刀,去掉修辞上的“累赘”,使语言简练和精准。
事实上,自然数本身就是对“个体”对象的高度抽象,自然数1就是“个”的形式化符号。如果不考虑修辞习惯,仅从逻辑的角度来分析,1可以替代所有类型的“个”。这一点并不难理解,实际上“个”(包括其变体)在我们的任何陈述中都隐含了1的概念,“个”就是“一个”。如果抽掉其中的个字,则有,“个”=“一”。还有一种理解,如代数字母前的系数为1时,约定省略不写。我们知道,1在皮亚诺系统中是不定义概念,为了中文的习惯,我们还是借用“个”这个概念来继续下面的讨论。
为了说明“个”是不定义概念,不妨先说一下集合。曾经有人对集合下过一个“严格”而具体的定义:“集合是具有某种共同属性事物的全体”。这对部分集合是对的,如男人集(全世界)、偶数集、素数集 … 等。显然,这种定义收窄了外延。所遗漏的集合比比皆是,例如学校的集合:{学生、教师 … 教学楼、大巴 …}。很明显,这种集合里各个元素的属性是不同的(虽然属性不同,但子集之间及与母集可以进行相应的,并、交、差、余,逻辑运算)。因为集合概念,类似于时间和空间,其本身就是一种无所不包的基础概念,所以找不到更原始的概念对它进行定义。然而,不能定义不等于不能诠释。康托就这样描述过集合,“一个集合是:把我们直观感觉或智力思维中,一些确定的、可分辨的对象放在一起,看作一个(统一)整体。”不妨给出其英文原句作为参考,“A set is a collection of definite, distinct objects of our intuition or of our intellect, to be conceived as a whole (unity).”
“个”的概念是否也存在类似的情形呢?为了定义“个”,张学文给出了“个”的“边界”与“内容”的概念,这种做法虽然增大了“个”的内涵,但却收窄了其外延。不过张学文也意识到某类“个”,如“点”的“边界”和“内容”很难界定。即使是张学文所划分的“实物个体”和“事件个体”,有的“边界”也是比较模糊的。如境内有两座山,通常我们是以高于一定海拔的峰的多少来计数的;历史上共发生了三次数学危机,则是以引起数学界很大震动(需要确切的判别标准)的事件次数来统计的。
有趣的是,在康托的陈述中似乎隐含了“个”的概念。我们能否借用其“原话”来诠释(不是定义)“个”的概念呢?“个”是:我们直观感觉或智力思维中,某一确定的、可分辨的对象。这样一来,似乎解决了张学文的困惑。我们没有必要关心,诸如山、事件及“点”的“边界”与“内容”等问题,就能确定“个”的概念。这里的山及事件是我们的直观感觉,而“点”可作为我们智力思维中确定的、可分辨的对象。
3、“个”与“集合”概念之间的关系
除了前面提及的皮亚诺(G. Peano)自然数的“序数理论”外,还有冯.诺依曼(V. Neumann)所创建的自然数的“基数理论”。两种理论对自然数的两种功能似乎各有偏重,澳籍华裔青年才俊数学家陶哲轩解释为,皮亚诺系统更像似把自然数看成序数(第1、第2、第3 … 用来确定对象的次序),而冯.诺依曼系统则偏重于把自然数看成是基数(1、2、3 … 用来清点对象个数的多少)。当然,两者之间的区别是很微妙的。
“基数理论”的雏形可追溯到原始人曾使用过的“一一对应”(双射)计数的古老法则。如果将狩猎结果{兔子、鹿、野猪}看成一个集合,再把耕种的收获{玉米、白菜、红薯}也看成一个集合,从中可以提炼出某种“公共”的东西,那就是数字3。据此,原始人胸中有数,分别得到了3种动物和农作物。所以有限集的基数本身就是自然数。空集{}的基数为0,其后继集{}+={}U{{}}={{}}的基数为1,由空集{}及其基数0开始,可构造集合序列及与其对应的自然数如下:
自然数 基数(元素的个数)
0:={} ------------------------------------------------------- 0
1:={0}={}U{{}}={{}} ----------------------------------------- 1(个)
2:={0,1}={{}}U{{{}}}={{},{{}}} ---------------------------- 1+1(个+个)
3:={0,1,2}={{},{{}}}U{{{},{{}}}}={{},{{}},{{},{{}}}} -- 1+1+1(个+个+个)
……
虚线右边所添加的内容仅仅是为了便于理解,如自然数3所对应的基数是:1+1+1(个+个+个)。这种构造似乎给出了“个”与集合概念的本质关系。我们知道某一集合内的元素也是集合,如上例,当我们的思考焦点落在基数为3的集合时,其内的元素有{}、{{}}及{{},{{}}}。显然,这3个元素本身又都分别是下一个层次的集合。显然,“整体性”是集合或元素概念的共同特征。当我们只关心某一集合的“整体性”时,或称其为另外某个集合的元素时,在我们的智力思维中自然就产生了“个”的概念。可见集合的概念蕴涵了“个”的概念。
有趣的是,在生活语言中,汉语的量词,当仅强调“整体性”时,则具有“个”的概念;当即强调“整体性”同时也兼顾“构成内容”时,则具有集合的概念,如所、组、瓶、套等。虽然西语中少见量词“个”,但具有集合概念的量词则比比皆是,如英语中的set(套、总成)、flock(群、伙)、pack(包)、glass(瓶)等。可见,集合的概念与“个”的概念一样,并不是我们的刻意发明,而是我们与生俱来的,看和思考问题的一种(罗辑)方式。类似于语法和语句的关系,有了集合论这种形式系统以后,更加明确和规范了我们的思维。由于集合不但是一种原始古老的基础概念,而且蕴涵了“个”的概念,因此人们把集合论作为数学的基础是一种自然的选择。如,严格的皮亚诺自然数公理的叙述可以由集合公理给出。
张学文关于“个”的系列文章的链接
[1]张学文:《横贯多领域的一个概念和一个单位》,科学网
http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=2024&do=blog&id=6298
[2]张学文:《个体通论》(1-4章)
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