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<个体-标志值-集合>和它的复杂程度之四
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张学文20080627
（4）“个体-标志值-集合”
1. 个体的标志
根据个体的定义，每个个体有特定的边界和内在特征，所以每个个体都根据其边界或者内部特征而具有若干个特征标志。太阳系的每个行星都是一个个体。而这里的每个行星都具有自己的质量、体积、自转周期、它与太阳的距离等这些“特征标志”。对于本班的同学，我们可以说这里的每个同学都有特定的身高、体重、年龄等。身高、体重、年龄就是这些个体的统一的特征标志，而质量、体积、自转周期、与太阳的距离是每个行星都具有的特征标志。确实，我们都是通过各个特征来认识各个个体的，所以“个体具有特征标志”的几乎是不言自明。
2. 个体的标志值
对于每个个体，它不仅具有若干个特征标志，而且对每个标志，在确定的时刻，它都有具体的、确定的特征值。例如对本班的学生甲（个体）身高1.2米，体重24千克，年龄8岁，这里的1.2米就是身高这个特征标志的标志值。24千克，8岁是分别是体重和年龄的特征值。365天自转一圈、半径是6370千米分别地球这个个体的自转速度、体积这两个特征标志的标志值。
表1 个体－标志－标志值举例
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个体的名称
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特征标志
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标志值举例
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一张麻将牌
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条、并、万等
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柒条
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一个学生
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学生的体重
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体重37千克
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一升海水
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海水的温度
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温度23度
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一本书
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书的价格
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15元
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一张选票
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投票结果
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赞成票
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一张人民币
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人民币票面值
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五元
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在上面的表中列了一些个体的特征标志和特征值。这里的多数例子的特征值是有单位的具体数值量，这些与物理量十分类似。而选举的例子中，其标志值不是数值量而是“字符串”。这说明特征值也可以是含义明确的“字符串”，而不限于是有单位的“数”。
在统计学和概率论里人们用随机变量概念，我们这里的标志相当于哪里的“随机变量”，而标志值是随机变量在特定时刻或者特定的抽象试验的结局的取值。以后我们把“随机变量”与“标志”两个词混同使用。请注意这里谈的标志值都是针对该个体在特定时刻（特定场合）而言的。不同的时刻该个体可能有不同的标志值。
3. 同类个体
定义：具有某些相同的特征标志的个体称为同类个体。
同类个体往往有集体的名称（语言学里称为集体名词，以与特有名词相对）。行星、苹果、学生、劳动者、乘客、家用电器等这类个体的统称，都是它们的例子。
4. 个体-标志值-集合（个体集）
定义：由若干个（一般是有限个）同类个体组成的集体里，如果就某一标志（或某些标志）而言，每个个体在确定时刻有确定的标志值，就把该集体称为“个体-标志值-集合”，简称为“个体集”。
这里的3只羊的体重分别为5、28、34千克。每个羊作为个体而存在，体重是它们都具体的特征标志，而5、28、34千克是每只羊的标志值（这里的标志值是有单位的数量）。它们就组成了一个个体-标志值-集合，即个体集。有5个球，3红，2黄，球是个体，颜色是它们共同具有的标志，红色、黄色是它们各自的标志值（这里的标志值不是数，是字符串）。所以这5球组成的集体是一个个体-标志值-集合，或者说是个明确的个体集。
已经知道本班34位同学的身高，这就是一个个体集。已经知道太阳系的各个行星的直径，也构成一个个体集。依然是这34位同学，知道每个学生的体重，也构成另外的一个“个体-标志值－集合”（个体集）。
《组成论》里讲的广义集合就是这里的个体集。通过本文，我把广义集合改称为个体集，关于确定时刻的若干同类的个体以及各个个体的标志值的知识集体。
个体集内的每个个体具有的标志可能不只一个（如每个学生不仅具有身高，还具有体重、年龄…），但是为了集中研究我们特别关注的侧面，我们通常只分析它们的一个或者两个等少数标志，而暂时回避其它的标志。《组成论》里提供了各个科学分支里大量的个体集的例子。
数学里早就有了集合概念。这里的“个体-标志值-集合”既借用了集合的概念，又突出了以个体为元素的这个物理特点，它还涉及了标志值概念，甚至于它还知道不同标志值的个体数量是多少（知道一个函数，见下）。这些知识自然比数学里的一般集合概念要丰富。我们指望它在自然和社会科学中更容易应用。您可以把它看作是集合概念向物理内容的靠拢。
5. 个体集的例子和类别
《组成论》提供了在各个领域的个体集（哪里称为广义集合）的大量例子，并且把它们分为六类（表2）。
表2 六类个体集的特点
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类型
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个体的特点
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标志值的特点
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例子
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物质组成
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物质名词（种）
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物质名词（属）
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三个苹果两个梨
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时空场
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空间、时间单元
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空间或者时间的编号
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一年有四季、礼堂座位编号
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运动
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时间单元
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物体在空间的位置
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一辆运行中的公共汽车。
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物理场
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空间单元（有时也是质量）
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物体在该处的特征值
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一张有等高线的地图
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随机实验
与概率 |
每次随机实验
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实验的结果
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掷一次骰子
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抽象事物
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视问题而定
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视问题而定
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所有由假想事物构成（并不真的存在）的个体集都是其例。
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6. 个体集的分布函数
对于每个明确的个体－标志值－集合（个体集），我们都可以提出这样一个问题：在确定的时刻，具有不同标志值的个体各有多少。
既然每个个体在确定时刻的标志值是多少（是什么）是确定的（有时是已经知道的），自然该个体集内的各个标志值xi和它对应的个体的数量ni的关系也是确定（唯一的）。如果已经知道每个同学的身高，自然知道本班的不同身高的同学各有多少，既然知道每只羊的体重，自然知道不同体重的羊各有多少。所以上面的问题必然有答案。
我们把这个答案称为该个体集的分布函数。这里的标志值是自变量xi，而各个标志值所对应的个体的数量ni是函数值。
根据这个说明，前面的两个个体集的例子的分布函数可以用表或者图表示。
表3 三只羊（5个球）组成的个体集的分布函数
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三只羊的个体集
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自变量（体重/千克）
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5
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28
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34
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函数值（羊的个数）
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1
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1
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1
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5个球的个体集
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自变量（颜色）
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红色
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黄色
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其它颜色
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函数值（球的个数）
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3
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2
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0
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图1 五个球组成的个体集的分布函数(略）
在每个确定时刻，每个个体只能有唯一的标志值。而不能是多值。所以分布函数是单值函数。
每个个体集在确定时刻有唯一的分布函数。它告诉我们标志值xi的个体的数量ni。用表的格式表示这个函数就是
表4 分布函数的表格表示
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自变量
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x1
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x2
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…
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xi
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…
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xp
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函数值
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n1
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n2
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…
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ni
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…
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np
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用公式表示这个函数就是
n=f(x) (1)
这里的函数二字的含义与数学、逻辑中的含义是一致的。
既然每个个体集都伴有唯一的单值的分布函数，我们也就认为：知道了分布函数也就确定了该个体集。
7. 个体集的分布函数的例子
表5 个体集的分布函数的例子
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与分布函数对应的问题
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标志值
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函数值意义
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不同身高的学生各有多少（如三年级）
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学生身高
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学生数量
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不同的年产值的企业各有多少
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企业年产值
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企业数量
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不同人口数量的国家各有多少
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国家的人口数
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国家数量
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不同吨位的轮船各有多少
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吨位
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轮船数量
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不同质量的恒星各有多少（如银河系）
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质量
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恒星数量
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不同温度的日子各有多少（如1年中）
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温度
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天数
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不同拔海高度的面积各有多少（如中国）
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拔海高度
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面积
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不同的随机变量x值的出现概率是多少
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随机变量x
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出现概率
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标志值可以是离散变量，也可以是连续变量，而函数可以是连续函数也可以不连续。《组成论》里提供了更多的例子。
表中最后一个例子把所有的概率分布函数都归入个体集模型内，即它们是个体集的分布函数的特例。但是这里在用词上与那里有一些差别。这里的连续型分布函数对应于哪里的概率密度分布函数（哪里的概率分布函数是概率密度分布函数的从变量下限开始到目前值的积分）。
（旁白：我们慢吞吞的讨论大家早就熟悉的个体二字，现在居然发现同类个体的集合必然存在着一个函数，好像我们走了一段熟路可居然看到前面出现了新景，有趣！）
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