从有体能项的能量公式推导气温绝热铅直递减率很简单！

张学文，2022 04 13

我在4月8日提出一个关于大气的理想实验模型https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=2024&do=blog&id=1333057  ，但是它没有提供答案（征答）。我也确实不知道什么是合理的结果：把一个11公里长的装了空气的长的密封管子从平放（气压，气温均匀分布）到立起来，其气温应当是如何变化。

后来，在分析问题中提出我们计算大气的能量类别时，气象学的经典教材中忽略了气体与其占有体积有关的体能这个能量项目https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=2024&do=blog&id=1333300  。随后进而指出补上这一项很简单，https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=2024&do=blog&id=1333391 （即把公式中的涉及的定容比热，改为定压比热就可以了）。而现在看来它可以用来导出气象学中著名的干绝热大气的气温递减率公式！

确实根据前面的分析，单位质量的空气具有的能量包括内能I,位能Ф，动能K，潜热能LH而且还包括在压力下体现气体占有空间的体能项 PV。即其总能量是如下5项

E= C_vT+ gz+0.5(u²+v²)+Lq+PV

好，现在对上面的式子取微分，得到

dE= C_vdT+gdz+udu+vdv+Ldq+d(PV)

如果我们仅分析没有比湿变化（水分没有饱和），而且水平风速的变化很小可以忽略不计，并且是绝热过程--那么dE=0，于是公式简化为

0= C_vdT+gdz+d(PV)

对于理想气体，PV=RT,所以 d(PV)=RdT

再注意到热力学中的气体 定压比热C_p与定容比热C_v关系:

C_v+R=C_p

于是上式简化为

0= C_pdT+gdz

即

dT/dz=-g/C_p

显然这里的式子的含义就是在绝热条件下（不考虑外界的影响时）空气绝热的上升单位高度，z，气温对应的变化值是（-g/C_p） 。而它就是气象学中著名的干绝热气温递减率，其数值大致是0.98℃/100米。空气上升100米气温几乎减少1度。

   简单地说，我们在承认单位空气(块)具有内能，热能，体能（=PV）,而且没有外来能量干扰（dE=0）时（绝热），空气如果上升100米，其温度下降0.98度。此时的物理过程是空气绝热条件下的空气的热能变成为位能了（上升过程，下沉过程相反是位能变成热能—这些下个博客再另外说明）。