降水水汽的来源方程：空中水文学名词初集（16.2）

张学文，20190604 是20190531版http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-1182091.html的博客的修订版（仅对个别地方有很小的补充修订）

降水的水分是从哪里来的是人类数千年以来的老问题。现代气象学已经明确无论是雨，雪，冰雹这些“降水”都是来自地球下垫面的水分的蒸发。现在讨论的降水水汽的来源方程则进一步表达地球上各个地点（来源地的经纬度）的蒸发水分对各个地点（经纬度）的降水的具体贡献是多少问题。

具体回答以上问题在气象学中具有难度，但是给出理论公式， 则是可以的。在有了水分辐散函数概念http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-1180901.html 以后这些基本是顺水推舟的事了。

对于经纬度为（λ₀，φ₀）的这个降水地点来说，其降水的水分可能来自各个经纬度(λ，φ)上的蒸发量E(λ，φ),但是它显然仅是这个蒸发量的一部分。而水分幅散函数D恰好刻画了各地蒸发去了各地的百分比例。把把蒸发量与它相乘就获得了该处(λ，φ)蒸发为（λ₀，φ₀）处的降水的贡献。

于是经纬度为（λ₀，φ₀）处的降水P中的来自（λ，φ）处的蒸发的贡献应当是

P（λ₀，φ₀，λ，φ）=E(λ，φ）D (λ₀，φ₀，λ，φ)

以上公式对于任何地点（λ₀，φ₀）都是对的。显然以上公式中的蒸发量、降水量和D都是指单位经纬度的蒸发总量、降水总量和对应的比值。

以上公式仅是特定经纬度的蒸发对特定点降水的贡献。而特定点的降水显然是以上公式对全球各个经纬度的积分。

即用各地的蒸发量乘以它在经纬度为（λ₀，φ₀）处变成降水的比例D (λ₀，φ₀，λ，φ)再对地球所有经纬度点按经纬度做积分（遍及各个经纬度），就获得了（λ₀，φ₀）处的全部降水P(λ₀，φ₀）。于是有：

以上公式对于任何地点（λ₀，φ₀）的降水都是对的。公式中的积分遍及地球的各个经纬度。它就是世界各地蒸发水分对特定地点(λ₀，φ₀）的降水量的提供情况的公式：各地（λ₀，φ₀）降水的水汽来源公式。

或者说理论上我们知道了各个经纬度的蒸发量这个函数并且知道蒸发的水分去了各个经纬度的比例这个4元函数，就通过这个积分求得特定地点(λ₀，φ₀）的降水量。

显然以上理论公式中的蒸发量、降水量是对分析问题时事先统一的，例如是指多年平均的蒸发量、降水量。而且这个蒸发量、降水量是指单位经度单位纬度内的蒸发或者降水量，其单位是（立方米/经度.纬度）。而不是我们过去用的降水深度（如毫米）或者蒸发量的深度。

以上是理性的分析结果，但是鉴于D (λ₀，φ₀，λ，φ)很难求得。但是把经纬度粗粒化为大的面积单元，问题就变成了改用蒸发去向矩阵http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-1180295.html乘以蒸发量求该区域的降水了。

参考文献：张学文、周少祥《空中水文学初探》2011，气象出版社 ，第8章。