今日（4月11日）的封面文章《程京德：何谓“计算”——可计算性理论简介》介绍了“计算”问题。我想借着这股风，把“无穷小”说一下。

   从“计算”的维度分析无穷小也算是一个新颖的维度。

   很多人讨论计算，往往就如《程京德：何谓“计算”——可计算性理论简介》一样，分析的很详细，也很高深。我们可以认为是“阳春白雪”风格。

   本文则喜欢下里巴人风格。力争把“计算”拉下高贵的神坛，用我们日常的经验分析。“可计算性理论”并不是特别高端，在数学历史中处处可见“可计算性理论”的例子。

   在历史上，数学只要涉及到危机、难题，基本与“可计算性理论”相关。“无理数的发现”是希腊历史上的一次重大数学危机。为什么是“一次重大数学危机”？因为“无理数”无法利用整数的加减乘除“计算”出来。整数的加减乘除形成了一个自包含的系统。无理数不属于这个系统之内，属于“不可计算”的部分。

   希腊的经典难题，比如说用尺规作图实现“三等分角，化圆为方”就属于不可求解问题，也就是不可用“尺规”计算。在“尺规”系统内，“三等分角，化圆为方”属于“不可计算”。

   斐波那契数列的“求和公式”（可以在网上查），求和公式里面出现“根号下5”。斐波那契数列全是整数，但在求和公式里面出现了无理数。假如在古希腊时代，就属于不可计算问题。如果数学没有进入无理数时代，就无法求出“斐波那契数列的求和公式”。“斐波那契数列的求和公式”存在，但在整数时代，是“不可计算”的。

   “五次及以上的多项式方程没有根式通解”同样涉及到“可计算性理论”。根式通解是什么意思？根式通解指对方程的系数通过有限步加、减、乘、除、开正整数次方表示的解。根式是不是存在其他形式的通解？应该存在，可根据现有的数学知识，属于“不可计算”。

   “计算”有历史局限性。比如我们掏出手机，打开计算器APP。我们肯定会感觉这个计算器的计算能力非常有限。可如果在4000年前，人们对数学了解很少的时候，看到这个计算器，肯定会觉得“好高级”。

   以上的介绍只是说明一个问题：“计算”与“工具”相关。有了工具，某些不可计算就成为可计算。当然，我们可把“工具”当做“语言”。“尊严只在剑锋之上，真理只在大炮射程之内”，有类似的比喻。
   在牛顿时代，“求函数曲线的切线”是一个“不可计算”的问题。假如牛顿和莱布尼茨不发明微积分，是不是有办法求出“函数曲线的切线”？数学中的函数可以认为是“常量、变量、运算符”的某一个排列组合。是不是存在一个函数D，作用到任意一个函数b上，即可求出b的导数？除了使用“无穷小”，数学家们应该还没找到函数D。

   微积分引入了“无穷小”一直备受争议，相关的讨论也没有停止过。虽然“无穷小”一直备受争议，但人们不得不使用。因为“无穷小”类似于“无理数、虚数”一样，数学家离不开。假如不引入“无穷小”，“函数曲线的切线”就属于不可解问题。

   初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

   初等函数一般是连续函数，而且不损失信息，也就是有反函数。给一个x，有一个y。根据y一般也能求出x。可是“无穷小”是一个单向函数，不存在反函数，或者说反函数有无穷多个。“无穷小”能够去掉无关的信息，从而使得表达式简单。