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首先对素数定理的研究作出了重要贡献的是Chebyshev. 他证明了存在两个正常数C_1和C_2 ,使不等式
C_1———≤π(x)≤C_2———
log(x)
对充分大的x成立,并且相当精确地定出了C_1和C_2的数值。他还证明了
π(x)log(x) __ π(x)log(x)
也就是说,如果π(x)log(x)/x 的极限存在,则必定是1. 这些无疑都是很重要的进展,但不幸的是,用Chebyshev的方法无法证明最后的结果。
1859年,Riemann发表了题为"论不超过一个给定值的素数个数"的论文,这是他唯一一篇关于数论的论文。在这篇仅8页的论文里面,Riemann首次深刻而系统地研究了ζ函数
∞ 1
ζ(s)=Σ ——
n=1 n^s的性质。并且指出,素数的分布与ζ函数,特别是ζ函数的零点的性质有着密切的联系。
在这篇文章里,他还提出六个关于ζ函数的猜想,其中一个就是著名的Riemann假设:
ζ(s)的所有非平凡零点都位于直线 Re(s)=1/2 上。
Riemann的这篇论文为素数分布理论的研究指明了方向,以后这方面所有的进展都是从他的思想中得来的。
1896年,两位年轻的数学家Hadamard和de la Vallée Poussin按照Riemann的思路,各自独立地利用高深的整函数理论证明了素数定理,从而解决了这个有一个世纪历史的难题。后来Landau,Hardy-Littlewood等人利用函数论的知识给出了素数定理的新证明。
以上各人的证明都需要利用ζ函数以及一些较深的分析工具。后来Wiener用实分析的方法证明了素数定理等价于"ζ函数的零点不在直线 Re(s)=1 上"。这就更让人相信,素数定理的证明必然要用到ζ函数以及高深的分析工具。
1921年,G.H.Hardy就曾经说过这样一段话:"断言一个数学定理不能用某种方法证明,这可能显得过于轻率;但有一件事(素数定理没有初等证明)却是清楚的。如果有谁能给出素数定理的初等证明,那么他就将表明,我们过去关于数学中何谓'深刻'、何谓'肤浅'的看法都是错误的。那时我们就不得不把书本都抛在一边,重写整个理论。"
Hardy逝世于1947年,他万万没有想到,就在他去世的两年后,两位年轻的数学家就推翻了他以及整个数学界的断言,用完全"初等"的方法给出了素数定理的证明,进而导致了整个素数理论的重写。
注:
Jacques Salomon Hadamard,法国数学家,在数学的许多方面均有贡献,被誉为Poincaré之后少有的多面手。
Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallée Poussin ,比利时数学家,他是国际数学联盟(IMU)首任主席。
Norbert Wiener,美国数学家、哲学家,控制论的创立者,在调和分析、数学物理、概率论、泛函分析、非线性数学、生理学等许多方面都有巨大贡献。1964年获美国国家科学奖章。
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