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【数学知识系列】（2）：贝叶斯与贝叶斯公式数学期望
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数学期望(mathematical expectation) 定义：一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值。 1、数学期望的由来（两个版本的小故事） 版本其一： 早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。 因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。 版本其二：
巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？
是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？
这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的拿这个钱的1／4。
为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在，A赢、输的可能性都是1/2,所以，他拿的钱应该是1/2×1＋1/2×1/2＝3/4,当然，B就应该得1/4。
通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念——数学期望。
是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？
这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的拿这个钱的1／4。
为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在，A赢、输的可能性都是1/2,所以，他拿的钱应该是1/2×1＋1/2×1/2＝3/4,当然，B就应该得1/4。
通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念——数学期望。
2、数学期望的简单算法
数学期望简单说就是平均值。当随机变量X取各个可能值是等概率分布时，X的期望值与算术平均值相等。
离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率Pi之积的和称为数学期望（设级数绝对收敛），记为E（x）。
连续型随机变量就是X的概率密度函数为f(x)在负无穷到正无穷求x*f(x)对x的积分，若积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量X的数学期望。
小结：数学期望是一个实数，而非变量，它是一种加权平均，与一般的平均值不同，它从本质上体现在了随机变量X取可能值的真正的平均值。
附件资料：数学期望.ppt
https://blog.sciencenet.cn/blog-200036-488453.html
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