啊，伟大的拉格朗日乘数法！

冯向军

06/02/2019

(一）拉格朗日乘数法 【1】

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  在数学最优问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未 知数的值。

• 中文名

• 拉格朗日乘数法

• 外文名

• Lagrange Multiplier Method

• 表达式

• L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)

• 提出者

• Joseph Lagrange

• 提出时间

• 1791年

• 定义介绍

• 设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数

•   

• ，其中λ为参数。

• 令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶偏导数等于零，即

• F'x=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0

• F'y=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0

• F'λ=φ(x,y)=0

• 由上述方程组解出x,y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。

• 若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此即所求的点。

• （二）拉格郎日乘数法的伟大

•   拉格郎日乘数法的伟大，就在于把变量受约束的目标函数T的求极值问题，转化成了变量不受任何约束的新的目标函数T_New的求极值的问题，从而把决定性事件的一团死水变成了活水：将无数的可能性全部都纳入考量范围。在无数的可能性中确定必然性。让仅与被完全固定的变量相适应的目标函数转变为适应变量的全局的目标函数！

• 啊，伟大的拉格朗日乘数法！你是《关于决定性事件的概率论》的数学基石！

• 参考文献

• 【1】百度百科，拉格朗日乘数法。https://baike.baidu.com/item/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E4%B9%98%E6%95%B0%E6%B3%95/8550443?fr=aladdin