现代泛系分形是对一切传统分形概念的至简统一和推广

冯向军

    传统分形的定义是部分与整体相似的形。但是巴恩斯利分形的发现者巴恩斯利却指出：自然中，并没有两片叶是全同的。那么巴恩斯利分形叶算不算分形？另一方面，传统分形中最经典的实例：海岸线也只具有统计学意义上的自相似性。那么海岸线算不算分形？

  现代泛系业已证明：任何具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布的事物都是某种在无任何非自然约束条件下的自然存在或自在，也是某类事物在任何约束条件下的实在。

  现代泛系分形的定义是：分形就是某种具有均匀分布的n元现代泛系叠加态（n维归一化广义向量）：p₁A₁+p₂A₂+...+p_nA_n。这其中，n为大于1的自然数。p1=p2=...=pn=1/n。Ai则是映射第i个最基本元素或基元的单位广义向量。所谓广义向量就是既有大小又有指向的量。所谓单位广义向量就是大小为1的广义向量。p_iA_i又称为分形广义向量的第i个分量。i=1，2，...,n。因此分形是某种自在和实在。

  只要将最基本元素或基元定义为点，那么任何不全同点所构成的集合---不全同点集均是现代泛系分形，因而也都是一种自在与实在。这样的现代泛系分形就含盖一切传统分形和统计学意义上的分形或近似的传统分形（例如巴恩斯利分形）。

 当最基本元素或基元为线段时，现代泛系分形就直接是诸如雪花分形之类的种种传统分形。

  因此， 现代泛系分形是对一切传统分形概念的至简统一和推广。

【附录1】

现代泛系关于分形和分形科学的新定义：希望引导分形研究的新潮流

冯向军

2018/10/1

  现代泛系业已证明：任何具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布的事物都是某种在无任何非自然约束条件下的自然存在或自在，也是某类事物在任何约束条件下的实在。

  因此， 就有现代泛系对分形和分形科学的定义。

 【分形的定义】：分形就是某种具有均匀分布的n元现代泛系叠加态（n维归一化广义向量）：p₁A₁+p₂A₂+...+p_nA_n。这其中，n为大于1的自然数。p1=p2=...=pn=1/n。Ai则是映射第i个最基本生存元的单位广义向量。所谓广义向量就是既有大小又有指向的量。所谓单位广义向量就是大小为1的广义向量。p_iA_i又称为分形广义向量的第i个分量。i=1，2，...,n。因此分形是某种自在和实在。

【分形科学的定义】：分形科学就是揭示自然和社会中丰富多彩的自在和实在及其各种规律的科学。

  现代泛系希望这两个新定义引导天下分形研究的新潮流。从全新的视野重新看待和欣赏已知的和将被发现的分形。分形研究必将重新激起人们的巨大兴趣。

【附录2】

雪花分形的自在和实在性模型：现代泛系对科学的又一重要贡献

冯向军

2018/10/1

【博主按】本文是现代泛系对分形的研究迄今为止所取得的最重大的突破。终于揭示了分形的自在性和实在性，并把欧几里得整数维空间和分形的分数维空间都统一为具有均匀分布的柯尔莫哥洛夫公理化概率空间。分形本身极大地丰富了自在和实在性以及均匀分布的内涵，但是引入分数维却是人类探索自然中的一种诚实性的误入歧途。将欧几里得整数维空间和分形的分数维空间都统一为具有均匀分布的柯尔莫哥洛夫公理化概率空间则是一种返朴归真、拨乱反正、正本清源。本文也是继现代泛系一举对引起数学史上三大危机的毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论统一解悖，创立现代泛系量子微积分，明确1/0是【自然数无穷大】的上确界之后，对现代数学的又一重要贡献：把所谓分形视为一种具有均匀分布的【n元现代泛系叠加态】---【n维归一化广义向量】。

  对于任意给定的自然数n>=1，第n代雪花分形都具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布，而具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布的万有就是自在和实在，因此雪花分形是一种自在或实在。

（一）第1代雪花分形

  第1代雪花分形可表达为如下归一化广义向量：

  第1代雪花分形=1/4A₁+1/4A₂+1/4A₃+1/4A₄   （1）

  这其中，A_i (i=1,2,3,4)是映射第1代雪花分形中第i个线段的单位广义向量，而1/4则是第i个广义向量的相对于第1代雪花分形总长度的大小或概率。第1代雪花分形具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:(1/4,1/4,1/4,1/4)，因此也就是一种自在和实在。

（二）第2代雪花分形

  第2代雪花分形可表达为如下归一化广义向量：

  第2代雪花分形=1/16A₁+1/16A₂+1/16A₃+...+1/16A16   （1）

  这其中，A_i (i=1,2,3...,16)是映射第2代雪花分形第i个线段的单位广义向量，而1/16则是第i个广义向量的相对于第2代雪花分形总长度的大小或概率。第2代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:(1/16,1/16,1/16...,1/16)，因此也就是一种自在和实在。

（三）第3代雪花分形

  第3代雪花分形可表达为如下归一化广义向量：

  第3代雪花分形=1/64A₁+1/64A₂+1/64A₃+...+1/64A64  （1）

  这其中，A_i (i=1,2,3...,64)是映射第3代雪花分形第i个线段的单位广义向量，而1/64则是第i个广义向量的相对于第3代雪花分形总长度的大小或概率。第3代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/64,1/64,1/64...,1/64)，因此也就是一种自在和实在。

（四）第n代雪花分形

  第n代雪花分形可表达为如下归一化广义向量：

  第n代雪花分形=1/4ⁿA₁+1/4ⁿA₂+1/4ⁿA₃+...+1/4ⁿA₄ⁿ   （1）

  这其中，A_i (i=1,2,3...,4ⁿ)是映射第n代雪花分形第i个线段的单位广义向量，而1/4ⁿ则是第i个广义向量的相对于第n代雪花分形总长度的大小或概率。第n代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/4ⁿ,1/4ⁿ,1/4ⁿ...,1/4ⁿ)，因此也就是一种自在和实在。

【附录3】

KOCH分形的长度兼评分形真正的科学价值及其艰难前程

冯向军

2018/9/29

 （一）KOCH分形的长度

  假设L(n)是第n次迭代KOCH分形的长度，并假设第0次迭代KOCH分形的长度为1。

1.n=1

L(1)=(4/3)^1。

 2.n=2

L(2)=4/9*4=(4/3)^2

3.n=3

L(3)=16/27*4=(4/3)^3

4.一般公式：

L(n)=(4/3)^n。

Koch分形长度L(n)随迭代次数n的变化详情如下所示。

（二）分形真正的科学价值与艰难前程

  分形真正的科学价值是直面现实世界的大量复杂分形而給出其诸如长度和面积之类的测度。但是，要直面现实世界的大量复杂分形而給出其诸如长度和面积之类的测度，关键还在于給出这些分形的迭代公式。要給出这些分形的迭代公式，就必须全面掌握这些分形的成因。而分形的成因并非唯一，并且不都是能为数学迭代公式所描述的。因此分形科学的前程艰难。

【附录4】

现代泛系对分形的本质革命性新探

美国归侨冯向军博士

2018/9/12

分形树

Koch分形

（一）分形的真相

  分形不是独立于整数维空间之外的分数维空间，因而其实体、真身、实在仍然是整数维空间。

  现代泛系实在逻辑的基本思维法则是：

  就实在而言，B中的A无A非A。

  镜中花无花非花。

  水中月无月非月。

  电视机屏幕中的剧中人无人非人。

  按现代泛系实在逻辑：

  整数维空间中的分形，实在是无分形非分形。

（二）分形是整数维空间的一种新的自相似分割方法

  将一 维空间中的线段一分为2，就得2个自相似线段。

  将一维空间的线段一分为3，就得3个自相似线段。 

  ...

  将一维空间的线段一分为a，就得b=a¹个自相似线段。

  因此有公式：

  a¹=b   (1)

  将二维空间的正方形各边一分为2，就得4个自相似正方形。

  将二维空间的正方形各边一分为3，就得9个自相似正方形。 

  ...

  将二维空间的正方形各边一分为a，就得到b=a²个自相似正方形。 

  因此有公式：

  a²=b   (2)

...

  由此可推得将整数维n维空间中的各边相等的形体一分为a，就得b=aⁿ个 彼此之间具有自相似的各边相等的形体。

  就有一般公式：

  aⁿ=b   （3）

  但是，一切整数维空间中的分形分割都具有如下特征：将整数维空间中的各边相等的形体（包括一维空间的线段）一分为a，就得b=a^D个 彼此之间具有自相似的形体,这其中，一般而言D不是自然数。

因此，

  a^D=b   (4)

  D=log(b)/log(a)   (5)

  这其中log其实可以为以任何正实数为底的对数。但就习惯上而言，log是指自然对数。

  D就是大名鼎鼎的分形维数最简单最直接的定义。

（三) 将分形积分打回原形

  一切整数维空间中有效的积分求和方法都适用于对应于每次迭代的分形面积和分形曲线长度等分形测度的计算。这是因为：整数维空间中的分形，就其实体而言，无分形非分形的缘故。这正好比你照镜子，镜中场景的维数，看起来绝对不同于镜面的维数，而一切镜中场景，其实在无他，镜面而已！哪里有什么不同于镜面的维数？？? 虚幻啊！分形分数维！！！

（四）分形测度的真正新问题

  分形面积和分形曲线长度等分形测度随最小值为1的自然数自变量增量---叠代次数而变化。自变量增量是最小值为1的不能无限逼近零的自然数，才是分形测度的真正新问题。不过用差分代替导数，用迭代公式结合整数维空间的一切有效的积分求和方法，就可以彻底解决分形测度的真正新问题。

（五）现代泛系量子微积分的一些初步探索

  5.1 Koch曲线的面积

  假设n是第n次迭代的序号，n>=0。L是初始线段长度。S_n是第n次迭代Koch曲线的面积。b_n是第n次迭代所产生的相似线段条数，Area_n是第n次迭代的基本附加图形的面积，L_n是第n次迭代基本附加图形的边长。则有：

  当n=0，

  S₀=0

  Area₀=0

  L₀=0

  当n=1，

  S₁=S₀+b₀Area₁

  Area₁=sqrt(3)/4(L₁)²

  L₁=L/3

  b₀=4⁰=1

  当n=2，

  S₂=S₁+b₁Area₂

  Area₂=sqrt(3)/4(L₂)²

  L₂=L/(3²)

  b₁=4

  当n=3

  S₃=S₂+b₂Area₃

  Area₃=sqrt(3)/4(L₃)²

  L₃=L/(3³)

  b₂=16=4²

...

  因此有一般公式：

  S_n=S_n-1+b_n-1Area_n

  Area_n=sqrt(3)/4(L_n)²

  L_n=L/(3ⁿ)

  b_n-1=4^n-1

  5.2 Koch曲线的面积S随迭代次数n变化的详细情况

  5.3 Koch曲线面积S的单位迭代变化率dS(n)随迭代次数n详细情况

  Koch曲线面积S的单位迭代变化率是差分dS(n）：

  dS(n)=Sn-Sn-1

  dS(n)=b_n-1Area_n

  这其中，

  Area_n=sqrt(3)/4(L_n)²

  L_n=L/(3ⁿ)

  b_n-1=4^n-1

  ^{dS(n)随迭代次数n详细情况如下图所示：}