∞是什么？尝试回答周少祥老师的极好的问题

美国归侨冯向军博士

2018/9/10

（一）周少祥老师的问题

[1]周少祥   2018-9-10 18:08 

1/x——无限趋于0，但不等于0，所以称为无穷小；
x——无限趋于∞，但不等于∞，因此，不能称为∞。
请问，∞是什么？

（一）∞是什么？

1.1柯西无穷大

  设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式f(x)>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的柯西无穷大。

1.2∞是什么？

假设，集合E={x|x是柯西无穷大}。定义正数集W{SUP|1/SUP=0，SUP>0}。

因为对于每一个x∈E，1/x>1/SUP=0，所以x<SUP。

因此SUP就是集合E的不可达上界。W集非空。就称作为柯西无穷大不可达上界的W的元素SUP为∞。

特记SUP为1/0。就有：

1/0=∞

【备考】：每一种数都应该有现实生活原型。作为柯西无穷大不可达上界的正数∞或1/0的实际原型，就是存在一种眼光∞，在这种眼光下，或以这种眼光为尺度，一切有限正数都变得等于零，或有限/∞=0。比如在飞机上看地面上的人和建筑物就变得很矮小。飞机飞得越高，地面上的人和建筑物就变得越矮小。之所以这样是因为在飞机上看见的人和建筑物的高度与地面上的人和建筑物的实际高度相对于飞机的高度之比存在某种正相关。因此，就合理地存在一种高度∞，在这种高度来观测地面上的人和建筑物的有限高度，地面上的人和建筑物的有限高度全等于零。或者说：

正有限高度/∞高度=0。

正有限数/∞=0。

正有限数×1/∞=0。

1/∞=0。