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【柯西无穷小】是地地道道的水货!
美国归侨冯向军
2018/9/2
柯西【1】把无穷小或无穷小量简单地定义为一个【以零为极限的变量】。本文把这种无穷小或无穷小量称为【柯西无穷小】,好有别于【牛顿无穷小量⚪】。
现行微积分对极限的定义是:
设函数 在点 的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数
(无论它多么小),总存在正数 ,使得当x满足不等式 时,对应的函数值
都满足不等式:那么常数A就叫做函数 当 时的极限,记作
在现行微积分对极限的定义中,自变量x永远达不到与x0的【零界】,而函数f(x)也永远达不到与A的【零界】。
假如当 时函数 的极限为零。那么按柯西的定义当 时, 就是【柯西无穷小】。
这个【柯西无穷小】所谓的“无限逼近零”,其实是“永远都在自己的世界---【非零界】内”意义下的“无限逼近”,永远都无法达到【非零界】与零的界面的中线---【零界】。所以【柯西无穷小】就永远都不是真正意义上的【无限逼近零】。只有【牛顿无穷小量⚪】,才是真实意义下的【无限逼近零】。相对于【牛顿无穷小量⚪】这个【无限逼近零】的正牌货而言, 【柯西无穷小】是地地道道的水货!
【备考1】我们说中俄边境某界碑上的一根探针正差不多处在无限逼近俄国的临界位置,是指这根探针正差不多处在界碑的中线上。界碑的中线既不只属于中国,又不只属于俄国,而是同时平等地属于既属于中国又属于俄国。象界碑的中线这样的客观现实就是【零界】。【牛顿无穷小量⚪】就处在这样的【零界】,而【柯西无穷小】永远达不到这样的【零界】,只在“中国”(比喻非零界)一侧变来变去的。所以说【牛顿无穷小量⚪】才是【无限逼近】意义上的正牌货,而【柯西无穷小】只是地地道道的水货!这真正是差之毫厘,失之千里!
【备考2】牛顿本人从未給出过关于【牛顿无穷小量⚪】的确切定义。由于【贝克莱悖论】的严重干扰,关于【牛顿无穷小量⚪】的确切定义历经200多年后,才由横空出世势不可挡的、经凤凰涅槃而浴火重生的【现代泛系】于2018年8月底給出!
【牛顿无穷小量⚪】的【现代泛系确切定义】:【牛顿无穷小量⚪】是构成【牛顿原始微积分世界】的【量子】。所谓【量子】就是不能再被分割而其组成仅受自然约束条件限制的事物的基本存在形式【2】【牛顿无穷小量⚪】这个【量子】的状态可分为未坍缩态和坍缩态,正如【薛定鄂猫】这个【微观世界的量子】的状态可分为未坍缩态和坍缩态一样。未坍缩态牛顿无穷小量⚪是只广义的薛定鄂猫或特殊的冯向军泛有序对。
未坍缩态牛顿无穷小量⚪=冯向军泛有序对(【零】,【非零】)。因此,
未坍缩态牛顿无穷小量⚪=0.5【零】+0.5【非零】。
这其中,【零】是指向零这个数的单位广义向量,而【非零】是指向非零数的单位广义向量。所谓广义向量就是既有大小又有指向的量。单位广义向量就是大小为1的广义向量。未坍缩态牛顿无穷小量⚪平等遍历【零】和【非零】,同时是【零】又是【非零】,【零】就是【非零】,【非零】就是【零】。从是【零】可推以推出【非零】。从【非零】可推出是【零】。
坍缩态牛顿无穷小量⚪要么处于【零】态,要么处于【非零】态。当牛顿无穷小量⚪引起任何变化时,就坍缩成【非零】态。所谓【非零】态就是某个非零的数。当牛顿无穷小量⚪不引起任何变化时,就坍缩成【零】态。所谓【零】态就是指零这个的数。
【1】http://blog.sina.com.cn/s/blog_9407ba860100u49b.html
【2】冯向军,关于决定性事件的概率论,科学网,2017年7月16日。
http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1072125.html
【附录】
对【贝克莱悖论】彻底解悖
美国归侨冯向军博士
2018/9/2
(一)【贝克莱悖论】
牛顿原始的求【导数】或【流数】的方法是:
(f(x+Δx)-f(x))/Δx = F(x,Δx)|令Δx=0 = df/dx(1)
这其中,x是自变量,Δx是自变量的增量,f(x)是函数f在自变量=x时的函数值。(f(x+Δx)-f(x))是对应于自变量的增量Δx的函数f的值的增量。df/dx就是函数f(x)在x处的【导数】或【流数】。
【举例】
当f(x)=x^2,
((x+Δx)^2-x^2)/Δx =(2x+Δx)|令Δx=0 = df/dx (2)
df/dx= 2x (3)
所谓【贝克莱悖论】就是指式(1)的第一个等号左边的Δx不等于零而第一个等号右边的Δx=0 。
(二)进一步彻底解悖【贝克莱悖论】
牛顿的实际做法是:
(第一步)做运算:
(f(x+Δx)-f(x))/Δx = F(x,Δx) (4)
这其中,等式两边的Δx 都不等于零。(4)式也与导数df/dx毫无直接关系, F(x,Δx)是(f(x+Δx)-f(x))/Δx 的最终形式。
(第二步)做定义:
【定义】
F(x,Δx)|令Δx=0 = df/dx
或
df/dx=F(x,Δx)|令Δx=0
这些数学处理完全符合【形式逻辑】。没有任何等式两边的Δx既等于零又不等于零的情况出现。
真正的问题就变成了:
作为牛顿无穷小量⚪的Δx是否可以在不同场合又可以等于零,又可以不等于零。贝克莱大主教认为不行。【现代泛系微积分原理】认为完全可行!
【附录】
正本清源返朴归真的【现代泛系微积分原理】的三大要点
美国归侨冯向军博士
2018/9/1
在【现代泛系】看来,【牛顿原始微积分】是完全正确而毫无悖论的,是闪耀着真理的万丈光芒的。人类科学完全应该返朴归真,回归【牛顿原始微积分】。
但是,在人类科学-微积分发展的历史上,因为由大主教贝克莱所提出的所谓的【贝克莱悖论】【1】出现的缘故,【牛顿原始微积分】的原理一直深藏在【牛顿原始微积分】的久经实践检验的卓有成效的实际应用中,不被人们所发觉和承认。【牛顿原始微积分】的灵魂:【牛顿无穷小量⚪】也被柯西之流所抛弃或彻底异化。完全可以说:【现行微积分】是对【牛顿原始微积分】的精神实质的彻底背叛或异化。
丁小平先生等有识之士【2】,虽然或许真的发现了【现行微积分】带根本性的大问题,但是也还未发现【牛顿原始微积分】的无比圆满或无悖论性。
于是,历史老人把正本清源、返朴归真、在新时代的新视野下重新发现【牛顿原始微积分】的根本原理:【现代泛系微积分原理】的重大历史机遇給了经凤凰涅槃浴火重生而横空出世、势不可挡的【现代泛系】。
一个大功基本告成的【牛顿原始微积分】的根本原理:【现代泛系微积分原理】已然成型。
【牛顿原始微积分】的根本原理:【现代泛系微积分原理】有三大基本要点。
(一)【牛顿无穷小量⚪】不是所谓具有【不确定性】的以零为极限的【变量】,而是具有【确定性的最大复杂性】的【量子】-广义的薛定鄂猫或冯向军泛有序对。
(二)【现代泛系极限概念】不是所谓【无限逼近而永远不可达】而是【牛顿无穷小量⚪】的【最大似然现代泛系叠加态】的【二元对立的坍缩】。
(三)【牛顿原始微积分】根本就不存在所谓的【贝克莱悖论】。