建立在【牛顿极限概念】上的【现代泛系极限概念】

美国归侨冯向军博士

2018/8/31

  【内容提要】：【现代泛系极限概念】的【关键要害】是把传统的【无限逼近】概念，转化为【作为广义的薛定鄂猫或冯向军泛有序对】的【牛顿无穷小量⚪】的二元对立的坍缩态概念。看似和传统求极限的方法，包括求导数的方法极为相似，但是却从根本上消除了【贝克莱悖论】！是对【牛顿原始极限概念和求导法】的【完全合理性】和【无悖性】的【现代泛系论证】。

  牛顿说【1】：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等。”

  牛顿的朴素的极限概念有着与后继者截然不同的光辉思想。

（1）函数f(t）在随时间t的变化过程中(在有限的时间终止前），只能无限靠近其极限A，而不能等于其极限A。

（2）函数f(t）在【随时间t的变化而无限靠近其极限A】这一过程结束时（最终），就将等于其极限A。

  未坍缩的牛顿无穷小量⚪是一只广义的薛定鄂猫或冯向军泛有序对：

  冯向军泛有序对（【零】，【非零】）= 0.5【零】+0.5【非零】  （1）

  坍缩状态的牛顿无穷小量⚪要么处于【零】态，要么处于【非零】态。

  当牛顿无穷小量⚪引起任何变化时，就坍缩成【非零】态或某个非零的数。

  当牛顿无穷小量⚪不引起任何变化时，就坍缩成【零】态或零这个数。

  所以,就可以給出【现代泛系极限概念】的定义。

  【现代泛系极限概念定义】：

  当自变量x趋近于x0时，f(x)的极限为A等价于：

   当|x-x0|是处于坍缩状态的牛顿无穷小量⚪时，|f(x)-A|也必定是处于同类坍缩状态的牛顿无穷小量⚪：当|x-x0|因为还在变化而坍缩成【非零】或某个非零的数，|f(x)-A|也必定坍缩成【非零】或某个非零的数，而当|x-x0|因变化结束而坍缩成零时，|f(x)-A|也必定坍缩成零。

【例1】

  当x趋近于3，x²的极限的是9。

  这是因为当|x-3|是处于坍缩状态的牛顿无穷小量⚪时，|x²-9|也必定是处于同类坍缩状态的牛顿无穷小量⚪：当|x-3|因为还在变化而坍缩成【非零】或某个非零的数，|x²-9|必定也坍缩成【非零】或某个非零的数，而当|x-3|因变化结束而坍缩成零时，|x²-9|也必定坍缩成零。

 【定理1】定义导数df/dx是 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，在Δx趋近于零的极限。这就意味着：导数df/dx必须是按牛顿原始求导数法或求流数法所求出的导数。或者说：

df/dx=F（x,Δx)|令Δx=0，这其中，F（x,Δx)=(f(x+Δx)-f(x))/Δx，是(f(x+Δx)-f(x))/Δx的最终态。

证明：

因为df/dx是 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，在Δx趋近于零的极限，所以：

 当|Δx-0|是处于坍缩状态的牛顿无穷小量⚪时，|(f(x+Δx)-f(x))/Δx-df/dx|也必定是处于同类坍缩状态的牛顿无穷小量⚪：当|Δx-0|因为还在变化而坍缩成【非零】或某个非零的数，|(f(x+Δx)-f(x))/Δx-df/dx|也必定坍缩成【非零】或某个非零的数，这时，df/dx不等于(f(x+Δx)-f(x))/Δx）。

但是，当|Δx-0|因变化结束而坍缩成零时，|(f(x+Δx)-f(x))/Δx-df/dx|的最终态也必定坍缩成零。此时

df/dx=（f(x+Δx)-f(x))/Δx，（f(x+Δx)-f(x))/Δx=最终态F（x,Δx)，而Δx=0。

因此：导数df/dx必须是按牛顿原始求导数法或求流数法所求出的导数。或者说：

df/dx=F（x,Δx)|令Δx=0，这其中，F（x,Δx)=(f(x+Δx)-f(x))/Δx，是(f(x+Δx)-f(x))/Δx的最终态。

【证毕】

【定理2】可按如下方法求极限：

如果x-x0因为还在变化而不等于零，就有|f(x)-A|不等于零。如果|f(x)-A| |令x=x0 = 0，则当x趋近于x0时，f(x)的极限等于A。

证明：

如果x-x0因为还在变化而不等于零，就有|f(x)-A|不等于零。如果|f(x)-A| |令x=x0 = 0。这就意味着:

  当|x-x0|是处于坍缩状态的牛顿无穷小量⚪时，|f(x)-A|也必定是处于同类坍缩状态的牛顿无穷小量⚪：当|x-x0|因为还在变化而坍缩成【非零】或某个非零的数，|f(x)-A|也必定坍缩成【非零】或某个非零的数，而当|x-x0|因变化结束而坍缩成零时，|f(x)-A|也必定坍缩成零。所以按定义，当x趋近于x0时，f(x)的极限等于A。

【证毕】

【举例】

当x趋近于5时，x²+3 的极限等于多少？

因为当|x-5|还在变化而不等于零，就有|x²+3-28|不等于零。又因为|x²+3-28| |令x=5 = 0，所以当x趋近于5时，x²+3 的极限等于28。

【无穷小的定义】：当自变量x趋近于x0时，f(x)的极限为0，则称当自变量x趋近于x0时，f(x）的极限为无穷小。

【无穷大的定义】：当自变量x趋近于x0时，1/f(x)的极限为0，则称当自变量x趋近于x0时，f(x）的极限为无穷大。当自变量的倒数1/x趋近于0，就说x趋近于无穷大。

【微分的定义】微分dy=(df/dx)Δx。这其中y=f(x)，df/dx是函数f的导数,Δx是自变量的增量。因为dx=(dx/dx)Δx=Δx,所以dx=Δx,dy=(df/dx)dx。函数的微分与自变量的微分之比dy/dx=函数f的导数=df/dx。

【举例】

y=f(x)=x³。df/dx=3x²。微分dy=(df/dx)dx=3x²dx。

  【现代泛系极限概念】的【关键要害】是把【无限逼近】概念，转化为牛顿无穷小量的二元对立的坍缩态的概念。

【备考】按【现代泛系极限概念】，导数df/dx必须是按牛顿原始求导数法或求流数法所求出的导数。根本没有所谓的【贝克莱悖论】。

【1】https://www.xzbu.com/4/view-13807.htm