“科学新皇帝”灵光独耀于齐普夫定律的标准负1次幂律帝国

美国归侨冯向军博士，2017年8月19日写于美丽家乡

【摘要】齐普夫分布或标准负1次概率分布的本质是在系统约束条件（变量的统计平均值不变）及与之相同的自洽约束条件下发生概率最大的独一无二的概率分布。

（一）释题

“科学新皇帝”是指主流科学理论《关于决定性事件的概率论》所提出来的决定概率分布的最大发生概率原理；齐普夫定律是指关于标准负1次幂律的用途十分广泛的齐普夫定律(Zipf's Law)。所谓“科学新皇帝”灵光独耀于齐普夫定律的标准负1次幂律帝国，则是指在所有基于拉格朗日乘数的现代统计力学和热力学的极值原理中，在普适性的系统约束条件下，唯独只有作为发生概率和广义熵同时最大原理的共同基础和重要组成部分的“科学新皇帝”最大发生概率原理能够推导出著名的齐普夫定律(Zipf's Law)【1】。

（二）发生概率和广义熵同时最大原理

所谓发生概率和广义熵同时最大原理的全面而正式的表述是指：在任何约束条件下，一般而言，都必须令发生概率或发生概率和某种包括詹尼斯信息熵和Tsallis广义熵在内的广义熵之和最大，以同时实现

(1)在概率分布得以发生的前提下发生概率最大。

(2)在系统约束条件等非自然约束条件下，某种包括詹尼斯信息熵和Tsallis广义熵在内的广义熵最大。

（三）普适约束条件

现在终于十分清楚了，一般而言，得以发生的平衡态概率分布

pi = f(xi)，i = 1，2，...n同时满足自然约束条件，自洽约束条件和系统约束条件这三种普适约束条件。

所谓自然约束条件是指：

p1 + p2 + ...+ pn = 1    (1-1)

所谓自洽约束条件是指：

p/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) = 常数 = n    (1-2)

所谓系统约束条件则是指：

p1x1 + p2x2 + ... + pnxn = 常量    (1-3)

系统约束条件就是历史上著名的“变量的统计平均值不变”。之所以系统约束条件在系统平衡态普遍存在，那是因为在系统平衡态位于广义能级x上的粒子数不再变化从而令系统的总广义能量

N(p1x1 + p2x2 + ... + pnxn)（这其中N是系统宏观粒子总数）

不变的缘故。

（四）最大发生概率原理

 在任何约束条件下，广义系统的概率分布p1，p2，...，pn要得以发生，就必须令发生概率P最大。发生概率P满足式：P = p1 * p2 *...* pn 。尽管发生概率的概念既适合于广义向量，又适合于广义系统，但是，最大发生概率原理只针对广义系统。对于广义系统， p1 +  p2 + p3 +  ...+  pn = 1。

（五）齐普夫定律简介

 早在上个世纪30年代，就有人（Zipf）给出了齐普夫定律（Zipf’s Law)：一个词在一个有相当长度的语篇中的等级序号（该词在按出现次数排列的词表中的位置，他称之为rank，简称r）与该词的出现次数（他称为frequency，简称f）的乘积几乎是一个常数（constant，简称C）。用公式表示，就是

r × f = C 。Zipf定律是文献计量学的重要定律之一，它和罗特卡定律、布拉德福定律一起被并称为文献计量学的三大定律。Zipf的专业是比较语文学，但是，以其名字命名的定律却早已走出语言学，进入了信息学、计算机科学、经济学、社会学、生物学、地理学、物理学等众多研究领域 ，在学术界享有极高的声誉。

(六）齐普夫标准负1次幂律的特点：

齐普夫标准负1次幂律的特点是自洽约束条件同了系统约束条件：

p1x1 + p2x2 + ... + pnxn = 常量    (1-3)

我们知道，所有基于拉格朗日乘数的现代统计力学和热力学的极值原理中，在自洽约束条件下，唯独只有最大发生概率原理能够推导出作为最值或极值分布的已发生的分布，又因为对于齐普夫标准负1次幂律，自洽约束条件等同于系统约束条件，所以：在普适性的系统约束条件下，唯独只有作为发生概率和广义熵同时最大原理的共同基础和重要组成部分的“科学新皇帝”最大发生概率原理能够推导出著名的齐普夫定律(Zipf's Law)。

（七）用最大发生概率原理推导出标准负1次幂律

 对于标准负1次幂律pi=f(xi)=C/xi，i = 1，2，...,n,目标函数发生概率的对数log(P) = log(p1) + log(p2）+ ... + log( pn)，自洽约束条件和系统约束条件(式(1-2)和式(1-3))以及自然约束条件，最大发生概率原理所对应的拉格朗日算子为

L = log(p1) + log(p2）+ ... + log( pn) + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+ C2(（p1/f(x1) + p2/f(x2) +...+ pn/f(xn) - C3)

令拉格朗日算子L的一阶偏导数dL/dpi等于零，有：

dL/dpi = 1/pi + C1 + C2/f(xi) = 0

又命：

C1 = 0, C2 = -1

就有：

pi=f(xi)=C/xi    （1-4）

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵是一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L的一阶偏导数dL/dpi为零的上述分布pi=f(xi)=C/xi也就是令约束条件下发生概率的对数log(P)或发生概率P最大的分布。这种标准负1次幂律符合最大发生概率原理。

（八）齐普夫定律的本质

 由以上推导可见齐普夫定律的本质是：齐普夫分布或标准负1次概率分布是在系统约束条件（变量的统计平均值不变）及与之相同的自洽约束条件发生概率最大的分布。

参考文献

【1】Zipf定律，360百科，https://baike.so.com/doc5509828-5745574.html