根本不一样的科学研究发展方向：广义的克劳修斯熵

美国归侨冯向军博士，2017年8月14日写于美丽家乡

【摘要】广义的克劳修斯熵和无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理代表着一种与基于拉格朗日乘数法的最大Tsallis广义熵原理根本不一样的科学研究方向。

【无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理】

克劳修斯熵是可逆过程中平衡态的熵。因为平衡态的熵具有最大值，所以克劳修斯熵就是玻尔兹曼熵的最大值。当我们命：

玻尔兹曼熵变 = 克劳修斯熵变   (1-1)

就等于是命玻尔兹曼熵取最大值。由方程（1-1）式所导出的概率分布就是具有最大玻尔兹曼熵的概率分布。这就是无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理。在无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理基础上，将克劳修斯熵变推广为广义的克劳修斯熵变，又去掉玻尔兹曼熵变中的玻尔兹曼常数，就成就了无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理。

【与“果"分布相对应的广义的克劳修斯熵的一般形式】

与“果"分布f(x)相对应的广义的克劳修斯熵的一般形式是：

广义的克劳修斯熵 = -log(f(x)/a),这其中a是“果”分布系数。(1-2)

【举例】

对于负指数分布f(x) = aexp(-bx)，

广义的克劳修斯熵 = bx （1-3）

对于玻尔兹曼分布，x=能量E，b=1/(kT）,f(x)=aexp(-E/(kT)）,则有：

广义的克劳修斯熵 = 克劳修斯熵新型式 = E/(kT) (1-4)

广义的克劳修斯熵增 = 克劳修斯熵增新型式 = (E2-E1)/(kT) （1-5）

这其中，k为玻尔兹曼常数，T为温度。

【根本不一样的科学研究方向】

(一）基于拉格朗日乘数法的最大Tsallis广义熵原理和最大信息熵原理一样与根本因果律不相容或违背：若把“因”分布pi固定在“果”分布f(xi)，一般而言，则得不到作为令Tsallis广义熵最大的最大值分布的“果”分布f(xi)。但是广义的克劳修斯熵和无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理却完全符合因果律。

(二）Tsallis广义熵抛弃了几乎是纯数学的玻尔兹曼熵这个与物理过程几乎毫无关系的好根基，却死抱着导致玻尔兹曼熵(样本数很大的信息熵）与根本因果律不相容或相违背的拉格朗日乘数法。但是广义的克劳修斯熵和无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理却固守玻尔兹曼熵这个几乎是纯数学的好根基而用广义的克劳修斯熵来适应复杂系统。

【举例：推导幂律分布的一般形式】

假设开放复杂的系统所包含的宏观粒子数为N并达到了平衡态。该系统仅包含2个广义能级E1和E2。E2 > E1。处于广义能级E1的粒子数为n1而处于广义能级E2的粒子数为n2。n1 + n2 = N。这时广义系统微观状态总数W满足下式：

W = N！/ (n1!n2!)    (1-6)

广义的玻尔兹曼熵S = log(W)。（1-7）

有：

S = log(N!) - log(n1!) - log(n2!)   (1-8)

考察系统吸收广义能量

deltaE = E2 - E1    (1-9)

因为此原因，系统的广义玻尔兹曼熵从S变到S*，低能态粒子少了1个而高能态粒子多了一个。有：

S* = log(N!) - log((n1-1)!) - log((n2+1)!) (1-10)

广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = S* - S满足：

deltaS = log(n1/(n2+1) (1-11)

因为 n2 远大于 1，

deltaS = log(n1/n2) (1-12)

但是对于幂律分布，广义的克劳修斯熵增量deltaSc满足下式：

deltaSc = b(log(E2+c)-log(E1+c))    (1-13)

这其中b和c是常量。

所谓广义的克劳修斯熵增量deltaSc就是引发系统微观状态数的对数增量或广义的玻尔兹曼熵增的宏观原因。它的具体形式由欲成就的分布来确定。决定性的欲成就的分布，可视为一种平衡态的“果”分布。以平衡态的“果”分布来决定广义的克劳修斯熵增量deltaSc的具体形式并命之与微观状态数的对数增量或广义的玻尔兹曼熵增相等，就是以果为因或“以果地觉为因地心”来决定最大广义的玻尔兹曼熵下的概率分布。

与假科学极值原理最大熵原理绝然不同，无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理中根本没有拉格朗日乘数法的介入，因此不受拉格朗日乘数法的制约。决定分布的约束条件不是对分布本身的直接约束，而是命微观状态数增量的对数同与“果”分布相对应的广义的克劳修斯熵增相等。完全符合因果律。

命：

广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = 广义的克劳修斯熵增量deltaSc （1-14）

就有：

n1/n2 = （(E1+c)/(E2+c))^-b    (1-15)

n1 = a(E1+c)^-b  (1-16)

n2 = a(E2+c)^-b   (1-17)

a = N/((E1+c)^-b + (E2+c)^-b)    (1-18)

广义能量的概率分布pi = ni/N = d(Ei+c)^-b ，i = 1，2    （1-19）

这其中，

d = a/N = 1/((E1+c)^-b + (E2+c)^-b) （1-20）

不失一般性，考察n个广义能级的系统，可得

广义能量的概率分布pi = ni/N = e(Ei+c)^-b （1-21）

这其中i = 1，2，...n，而

e = 1/((E1+c)^-b + (E2+c)^-b)+...+(E2+c)^-b)）    (1-22)

【附录】

无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理符合因果律

美国归侨冯向军博士，2017年8月13日写于美丽家乡

（本文业已基本完成）

【无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理】

克劳修斯熵是可逆过程中平衡态的熵。因为平衡态的熵具有最大值，所以克劳修斯熵就是玻尔兹曼熵的最大值。当我们命：

玻尔兹曼熵变 = 克劳修斯熵变   (1-1)

就等于是命玻尔兹曼熵取最大值。由方程（1-1）式所导出的概率分布就是具有最大玻尔兹曼熵的概率分布。这就是无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理。在无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理基础上，将克劳修斯熵变推广为广义的克劳修斯熵变，又去掉玻尔兹曼熵变中的玻尔兹曼常数，就成就了无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理。

【与“果"分布相对应的广义的克劳修斯熵的一般形式】

与“果"分布f(x)相对应的广义的克劳修斯熵的一般形式是：

广义的克劳修斯熵 = -log(f(x)/a),这其中a是“果”分布系数。(1-2)

对于负指数分布f(x) = aexp(-bx)，

广义的克劳修斯熵 = bx （1-3）

对于玻尔兹曼分布，x=能量E，b=1/(kT）,f(x)=aexp(-E/(kT)）,则有：

广义的克劳修斯熵 = 克劳修斯熵新型式 = E/(kT) (1-4)

广义的克劳修斯熵增 = 克劳修斯熵增新型式 = (E2-E1)/(kT) （1-5）

这其中，k为玻尔兹曼常数，T为温度。

【无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理符合因果律】

假设开放复杂的系统所包含的宏观粒子数为N并达到了平衡态。该系统仅包含2个广义能级E1和E2。E2 > E1。处于广义能级E1的粒子数为n1而处于广义能级E2的粒子数为n2。n1 + n2 = N。这时广义系统微观状态总数W满足下式：

W = N！/ (n1!n2!)    (1-6)

广义的玻尔兹曼熵S = log(W)。（1-7）

有：

S = log(N!) - log(n1!) - log(n2!)   (1-8)

考察系统吸收广义能量

deltaE = E2 - E1    (1-9)

因为此原因，系统的广义玻尔兹曼熵从S变到S*，低能态粒子少了1个而高能态粒子多了一个。有：

S* = log(N!) - log((n1-1)!) - log((n2+1)!) (1-10)

广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = S* - S满足：

deltaS = log(n1/(n2+1) (1-11)

因为 n2 远大于 1，

deltaS = log(n1/n2) (1-12)

但是按式(1-2)，对于任何给定的“果”分布f(E)，广义的克劳修斯熵增量deltaSc满足下式：

deltaSc = -log(f(E2)/a)+log(f(E1)/a)    (1-13)

所谓广义的克劳修斯熵增量deltaSc就是引发系统微观状态数的对数增量或广义的玻尔兹曼熵增的宏观原因。

若把分布pi固定在“果”分布f(Ei)，i = 1，2上，就有:

pi = f(Ei)，i = 1，2。

广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = log(n1/n2) = log(p1/p2)

广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = log((f(E1)/a)/(f(E2)/a))

广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = -log(f(E2)/a)+log(f(E1)/a)

对照式（1-13），就有：

广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = 广义的克劳修斯熵增量deltaSc （1-14）

但是满足式（1-14)的分布pi = f(Ei)就是令广义的玻尔兹曼熵最大的最大值分布或极大值分布。这符合因果律。

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