关于统计力学和热力学中的极值原理的不相容不完备定理

（一个关于名符其实的“新皇帝”发生概率的数学定理）

美国归侨冯向军博士，2017年月26日写于美丽家乡

【定理】在统计力学和热力学中，任何通过拉格朗日乘数法来决定分布函数的极值原理，如果其目标函数中不包含发生概率的对数log(P)，那么这个目标函数就是不完备的，而这个极值原理就是不自洽或不相融的。这也就是说：一切具备相容性或自洽性的通过拉格朗日乘数法来决定分布函数的极值原理都是建立在发生概率最大原理基础上的。

 上述定理说明了发生概率和发生概率最大在一切具备相容性或自洽性的通过拉格朗日乘数法来决定分布函数的极值原理中的基础地位，发生概率是地地道道名符其实的“新皇帝”。

证明：

证明：当把分布固定在自己所推导出来的分布，极值原理就有约束条件：

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ...+ pn/f(xn) = 常数 = n    （1-1）

以及约束条件：

pi/f(xi) = 常数 = 1，i = 1，2，...，n。    （1-2）

众所周知，一旦约束条件把分布固定在特定分布，那么这个特定的唯一分布也就是约束条件下的最值和极值分布。任何自洽的或相容的通过拉格朗日乘数法来决定分布函数的极值原理在式(1-1)和（1-2）所表达的约束条件下，都必须能够重新导出自己所推导出来的分布。因此式(1-1)和（1-2）所表达的约束条件又叫自洽约束条件而在自洽约束条件下能够重新导出自己所推导出来的分布的极值原理就是自洽的或相容的，否则就是不自洽或不相容的。在式(1-1)和（1-2）中x1，x2，...，xn是与概率分布p1，p2，...，pn相对应的n个离散变量值），而f(x1)，f(x2),...，f(xn)是极值原理自己所推导出来的分布。命由目标函数中与上述自洽约束条件相对应的部分T，自然约束条件和上述非自然约束条件：自洽约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：

L = T + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1) +

+  C2(p1/f(x1) + p2/f(x2) + ...+ pn/f(xn) - C3)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = dT /dpi + C1 + C2/f(xi)= 0，i = 1，2，...，n。

dT /dpi = -(C1 + C2/f(xi))，i = 1，2，...，n。

因为自洽的或相容的极值原理必须能够通过拉格朗日乘数法再导出自己所推导出来的分布，所以：pi = f(xi)。

dT /dpi = -(C1 + C2/pi)，i = 1，2，...，n。

这就是说：目标函数中与自洽约束条件相对应的部分T的一阶偏导数必须与概率的倒数成线性关系，而迄今为止能满足这个条件的目标函数唯有发生概率P的对数log(P)及其线性组合。所以自洽的或相融的通过拉格朗日乘数法来决定分布的极值原理，其目标函数中都必须包含发生概率P的对数log(P)。因此不包含发生概率P的对数log(P)的目标函数都是不完备的。

证毕。