拉格朗日乘数法的一个美妙数学事实：自洽等同于发生概率最大

美国归侨冯向军博士，2017年7月25日写于美丽家乡

拉格朗日乘数法告诉所有基于她的极值原理：

要想自洽就赶快按冯向军说的做：

在目标函数中加进发生概率的对数log(P）!

定理：用拉格朗日乘数法来求分布函数具有自洽性，当且仅当该分布函数的发生概率最大。

证明：当把分布固定在自己所推导出来的分布，极值原理就有约束条件：

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ...+ pn/f(xn) = 常数 = n    （1-1）

和

pi/f(xi) = 1，i = 1，2，...，n。    （1-2)

这其中x1，x2，...，xn是与概率分布p1，p2，...，pn相对应的n个离散变量值），而f(x1)，f(x2),...，f(xn)是极值原理所推导出来的分布。满足式(1-1）和式(1-2)的约束条件叫自洽约束条件。在自洽约束条件下，若极值原理能够再重新导出自己所推导出来的分布，就叫具备自洽性。命由目标函数中与自洽约束条件相对应的部分T，自然约束条件和上述自洽约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：

T + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1) +

+  C2(p1/f(x1) + p2/f(x2) + ...+ pn/f(xn) - C3)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = dT /dpi + C1 + C2/f(xi)= 0，i = 1，2，...，n。

dT /dpi = -(C1 + C2/f(xi))，i = 1，2，...，n。

因为极值原理均能保证：拉格朗日算子L的一阶偏导数的零点也就是拉格朗日算子L的最值点或极值点。极值原理具备自洽性等同于：pi = f(xi)，因此极值原理具备自洽性就等同于：

dT /dpi = -(C1 + C2/pi)，i = 1，2，...，n。

这就是说：目标函数中与自洽约束条件相对应的部分T的一阶偏导数必须与概率的倒数成线性关系，而迄今为止能满足这个条件的目标函数唯有发生概率P的对数log(P)。这也就是说：极值原理具备自洽性等价于目标函数中与自洽约束条件相对应的部分T就是发生概率P的对数log(P)，而极值原理具备自洽性等同于极值原理自己推导出来的分布就是自洽约束条件下令发生概率最大的最值点或极值点。

自洽等同于发生概率最大。

证毕。