唯独最大发生概率原理与自己用拉格朗日乘数法

所导出的分布自洽

美国归侨冯向军博士，2017年月24日写于美丽家乡

 众所周知，如果只允许概率分布固定为唯一分布而不允许概率分布有其他任何变化，那么无须任何什么什么极值原理，因为目标函数本身的函数值唯一，所以这个函数值既是最大值又是最小值，而这个被固定的分布也就应该是令目标函数取最值或极值的最值点或极值点。但是，将概率分布固定在自己所推导出来的分布，所有通过拉格朗日乘数法和目标函数最大来求极值点的极值原理中，迄今为止，有且只有最大发生概率原理能给出自己所推导出来的分布。这也就是说：

唯独最大发生概率原理与自己用拉格朗日乘数法所导出的分布自洽。

 根本原因是目标函数的一阶偏导数必须与概率的倒数成线性关系，而迄今为止能满足这个条件的目标函数唯有发生概率P的对数log(P)。

 定理：当把分布固定在自己所推导出来的分布，极值原理要想通过拉格朗日乘数法再导出自己所推导出来的分布，其目标函数的一阶偏导数必须与概率的倒数成线性关系，而迄今为止满足这个条件的目标函数唯有发生概率P的对数log(P)。

 证明：当把分布固定在自己所推导出来的分布，极值原理就有约束条件：

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ...+ pn/f(xn) = 常数 = n    （1-1）

这其中x1，x2，...，xn是与概率分布p1，p2，...，pn相对应的n个离散变量值），而f(x1)，f(x2),...，f(xn)是极值原理所推导出来的分布。命由目标函数为T，自然约束条件和上述非自然约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：

T + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1) +

+  C2(p1/f(x1) + p2/f(x2) + ...+ pn/f(xn) - C3)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = dT /dpi + C1 + C2/f(xi)= 0，i = 1，2，...，n。

dT /dpi = -(C1 + C2/f(xi))，i = 1，2，...，n。

因为：极值原理想要通过拉格朗日乘数法再导出自己所推导出来的分布，所以：pi = f(xi)。

dT /dpi = -(C1 + C2/pi)，i = 1，2，...，n。

这就是说：目标函数的一阶偏导数必须与概率的倒数成线性关系，而迄今为止能满足这个条件的目标函数唯有发生概率P的对数log(P)。

证毕。