由二项分布推导泊松分布和负指数分布

美国归侨冯向军博士，2017年7月19日写于美丽家乡

（一）二项分布

 考察由n次随机实验所组成的随机现象，它满足以下条件：1)重复进行n次随机实验；2)n次实验相互独立；3)每次实验仅有两个可能结果；4)每次实验中给定事件出现的概率为p，不出现的概率为1-p。假设X表示n次独立重复实验中给定事件出现的次数，显然X是可以取0，1，…，n等n+1个值的离散随机变量。设这n次实验中，每个“给定事件出现k次的结果”为Ek，显然Ek的发生概率为p^k(1-p)^n-k。因为这样的结果有：n!/k!(n-k)!个，所以按照柯尔莫哥洛夫概率的可加性，这n次实验中，给定事件出现k次的概率

P(X=k) = n!/(k!(n-k)!)p^k (1-p)^(n-k)        (1-1)

（1-1）式就是二项分布的概率分布表达式。

（二）恒等式

(1+1/n)ⁿ ->e， $%uFF081-\lambda/n)^n \rightarrow e^-\lambda$ 当n->无穷大。

(1 - b/ n)ⁿ->e^-b，当n->无穷大。

（三）泊松分布

假设把时间t等分成n个时间片段。当n足够大时，在每个等分时间片段上给定事件要么出现1次，要么不出现。给定事件出现（1次）的概率与时间片段的长度t/n成正比。有：p = bt/n。按（1-1）式，时间t内给定事件出现的概率的分布为

P(X = k) = n!/(k!(n-k)!)(bt/n)^k (1-bt/n)^(n-k)        (1-2)

P（X = k) = n!/(n^k(n-k)!)(1-bt/n)^-k（bt)^k/k!（1-bt/n)ⁿ

= (n/n)（1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n)(1-bt/n)^-k(bt)^k/k!（1-bt/n)ⁿ

当 n->无穷大

P（X = k) =(bt)^k / k! e^-bt            (1-3)

这就是泊松分布。

（三）负指数分布

假设t时间内给定事件都不发生，要等待t时间后给定事件才发生。那么，给定事件在过了t时间后才发生的概率关于等待时间t的分布为：

P（t ）= P(X=0) = e-^bt         (1-4)

这就是负指数分布。

$%uFF081-\AA %uFF09$