广义系统的发生概率和Tsallis信息涌现

美国归侨冯向军博士，2017年7月5日

【引言】

 【1】文中，我根据更一般的冯向军知觉模型推导出Tsallis广义熵和单一事件的Tsallis信息。本文的目的是进一步明确广义系统的发生概率的定义并在此基础上以清晰的概念推导出Tsallis信息的信息涌现。

【定义】假设广义系统(p₁，p₂)在相互垂直、正交或对立的两个广义方向A和非A上具有柯尔莫哥洛夫概率分布p₁和p₂，p₁ + p₂ = 1,这其中p₁是广义系统表现为主事件（广义方向A）的概率，而p₂是广义系统表现为伴随事件（广义方向非A）的概率【2】，则定义

广义系统(p₁，p₂)的发生概率为广义系统同时在两个广义方向A和非A上发生的联合概率

P(A非A）= P(A) * P(非A/A）= p₁ * p₂       （1-1）

定理：假设E是作为单一事件的广义系统(p₁，p₂)所包含的Tsallis 信息，而E1和E2 分别是广义系统以概率p1表现为主事件（广义方向A）和以概率p2表现为伴随事件（广义方向非A）所包含的Tsallis 信息，则有:

E = E₁ + E₂ + (1-q) * E₁ * E₂        (1-2)

证明：由文【1】，知作为单一事件的广义系统(p₁，p₂)所包含的Tsallis 信息E可表达为

E = 1/（q - 1) * ( 1 - P(A非A)^q-1 ）= 1/（q - 1)( 1 - p₁^q-1p₂^q-1)        (1-3)

这其中q是代表Tsalis广义熵特征的q常数。

广义系统以概率p₁表现为主事件（广义方向A）和以概率p₂表现为伴随事件（广义方向非A）所包含的Tsallis 信息分别为：

E₁ = 1/（q - 1)(1 - p₁^q-1 )       (1-4)

E₂ = 1/（q - 1)( 1 - p₂^q-1)       (1-5)

式 (1-4)和式(1-5)相乘有：

(1-q) * E₁ * E₂   = -1/（q - 1) * ( 1 - p₁^q-1 - p₂^q-1  + p₁^q-1p₂^q-1)     (1-6)

将式 (1-4)至式(1-6）代入 式（1-2）右边，而把式（1-3）代入式（1-2）左边，则发现式（1-2）左右两边恒等。

证毕。

只要 q 不等于 1，式（1-2）就是在说相对于Tsallis 信息而言“整体不等于部分之和”。这就是所谓Tsallis 信息涌现。当 q < 1，Tsallis 信息涌现为相生涌现，当 q > 1，Tsallis 信息涌现为相克涌现。

参考文献

【1】冯向军，更一般的冯向军知觉模型及其对几乎所有的信息测度的统一，科学网，2017年6月30日。wehttp://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1063880.html

【2】赵克勤，集对分析与奇妙的联系数5—坐飞机是否安全？，科学网，2015年3月24日。http://blog.sciencenet.cn/blog-329317-876966.html