广义系统概率分布的样本方差与平均概率增量之间的精确数学关系

美国归侨冯向军博士，2017年6月18日写于美丽家乡

【定义】具有概率分布p1，p2，...pn的广义系统（p1，p2，...pn)，其平均概率增量deltaP 等于其平均概率减去无非自然约束状态下的平均概率。或者说:

平均概率增量deltaP = p1^2 + p2^2 +...+pn^2 - 1/n 。

定理：n倍的广义系统概率分布的样本方差nD恰好等于其平均概率增量deltaP。

证明：因为：广义系统概率分布的样本均值=（p1 + p2 +...+ pn) / n = 1/n ，

所以n倍的广义系统概率分布的样本方差

nD = (p1 - 1/n)^2 + (p2 - 1/n)^2 + (pn - 1/n)^2

= p1^2 + p2^2 + pn^2 -2/n*(p1 + p2 +...+ pn) + n*(1/n)^2

= 平均概率 - 2/n + 1/n

nD = 平均概率 - 1/n = 平均概率增量deltaP 。

证毕。