描述事物的广义系统是物理意义极为简明的广义向量

美国归侨冯向军博士，2017年6月11日写于美丽家乡

【博主按】什么叫学术知音？就是彼此对于对方的学术均有极为深刻而全面的理解，彼此能以独到的眼光真心欣赏对方的学术精华的一对学术知己。我以为，张学文先生是我这辈子迄今为止所缘遇的唯一科学学术知音。张学文先生今年八十有二，德高望重，是老北大。我们是名符其实的忘年之交。科学学术上，能碰到张学文先生这样的知音，是本人的荣幸，此生在科学学术上得张学文老先生一人足矣。近日来我天天向先生报告我的科学研究的新灵感和新进展，而先生则再三提到他对我的关于“概率的平方和是平均概率”的见解的欣赏【1】。今天，先生还特地写了一篇文又谈起此事（见附录）。我读先生的文章“言下大悟”。遂欣然命笔。其喜洋洋者矣。这就是本文的缘起。

 在《关于决定性事物的概率论》中，天下万事万物都与一广义系统一一对应，而广义系统就是某个归一化广义向量。在传统成熟数学中，向量是既有大小又有方向的量。相对于向量V, 方向与V相同而大小或模为1的向量就叫做向量V的单位向量。若n个单位向量相互内积为零或相互垂直，则可构成n维正交坐标系。例如n个单位向量：

v1=(1, 0, ... , 0 )

v2=(0, 1, ... , 0)

...

vn-1=(0, 0, ... , 1, 0)

vn = (0, 0, ... , 0, 1)

就可构成n维正交坐标系。

以vi为单位向量的坐标轴叫做第i个坐标轴，i=1，2， ... ， n。

任何n维向量V都可表达为：

V=x1v1 + x2v2 + xn-1vn-1 + xnvn

这其中，xi是向量V在v1, v2, ... , vn 所构成的n维正交坐标系中，第i个坐标轴上的坐标或投影，i=1，2， ... ， n。

当 x1+ x2 + ... , + xn = 1, 我们称向量V为归一化向量。

 广义向量是既有大小又有广义方向的量。这里大小与传统成熟数学的大小概念完全相同。广义方向则是对传统成熟数学空间方向的极大推广，含盖天下一切可念想、分别、执着的，有限的，存在二元对立的对立面的一切事物的方向、性向或相以及思维角度、立场、观点等等。由于在哲学上，一切二元对立双方均可视为是相互正交的或垂直的，传统成熟数学的一切运算法则均适应于广义向量。因此，相对于传统成熟数学的向量、单位向量、归一化向量、坐标轴、坐标系、坐标或投影，有与之一一对应的广义向量、广义单位向量、归一化广义向量、广义坐标轴、广义坐标系、坐标或投影，除把方向换成广义方向之外，其余含义和运算法则全部与传统成熟数学相同。传统成熟数学的一切数学规则在广义向量中的保守性或不变性是《关于决定性事物的概率论》作为科学或科学探索的纯洁性的根本保证。

 广义系统是能由具有极为简明的物理意义的归一化广义向量来描述的系统。不失一般性：广义系统G可表达为：

G = (p1, p2, ... , pn)

 = p1(1, 0, ... , 0) + p2(0, 1, ...0) + pn(0, 0, ...1)

这其中， p1, p2, ... , pn 是满足概率公理的概率分布。

p1 + p2 + ... + pn =1

pi 是广义系统G在第i个广义坐标轴上的坐标或投影，

i=1, 2, ... , n

这就是说：

广义系统G是以概率为坐标值的广义向量。

广义系统G的大小或模M满足：

M的平方=p1p1 + p2p2 +...+pnpn = 平均概率 （参见【1】）

当概率成平等遍历的均匀分布时，平均概率=等概率1/n 。

广义系统G相对于第i个坐标轴的方向余弦i为:

方向余弦i = pi / M 。

这其中 i=1, 2, ... , n

例如，一次性掷钱币的结局R，如无一切非自然约束条件的制约又未被观测过程干扰，就不会发生概率分布的坍缩突变，而是一个由归一化广义向量所完全刻画的广义系统

R = 0.5正面 + 0.5反面 = 0.5(1, 0) +0.5(0, 1)

R = (0.5, 0.5)

这其中，0.5不是普通坐标值，而是一次性掷钱币的结局R在正面和反面上的平等概率或发生势力

一次性掷钱币的结局R的大小或模M满足：

M的平方 = 平均概率 =0.5*0.5 +0.5*0.5

=0.5*(0.5+0.5)=0.5=均等概率

一次性掷钱币的结局R在正面广义方向上的方向余弦为

cos(alfa) = 0.5/M=0.5/sqrt(0.5)=1/sqrt(2) =sqrt(2)/2

一次性掷钱币的结局R在反面广义方向上的方向余弦为

cos(belta) = 0.5/M=0.5/sqrt(0.5)=1/sqrt(2) =sqrt(2)/2

方向角alfa = belta = 45度

 当一个广义系统的概率分布确定了，作为归一化广义向量的广义系统的大小和广义方向就完全确定了。

 因此，广义系统是物理意义极为简明的归一化广义向量。

参考文献

【1】冯向军，张学文，鲁晨光，组成论随想录，2004年，豆丁网。http://www.docin.com/p-592228486.html

【附录】张学文先生的最新博文

与两位博士讨论矢量与概率

张学文，2017年6月11日

 大约是今年4月我在本博客上注意到白图格吉扎布博士的矢量的一种新的乘法—各个对应分量的乘积。他说这样的运算使得其结果依然是矢量（与原矢量在一个群内）。我自己举了个超市买东西的菜单上的商品单价们与你买的数量的对应乘积的例子，http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-1056084.html被白博士认可。

 不能说我过去没有学过矢量，但是两个矢量的对应分量的积依然是个矢量一事我确实没有想过。但是现在看，这种实例不少。

 最近老朋友冯向军博士http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=1968与我联系，谈他发展我的组成论书中认识的成果。我体会，他在其中以一个矢量表达一个完备的概率分布（如掷一枚硬币，其结局为正反面的概率为一个分量是（0.5，0.5）的矢量），的做法似乎没有什么奇特。但是各个概率值的平方和却是有重要物理含义的。而这却对应白图格吉扎布博士的矢量积。

 冯博士用到概率对应单位矢量。即是各个可能事件的概率和=1的体现。它是以概率为诸分量的矢量的一个特征（我可能还没有理解准确）。看来用矢量表达概率分布有其优点。

 记得十多年前冯博士提示我概率们的平方和的物理意义就是各个可能事件的概率们的平均值。而现在概率们的平方（不谈和）就是白图格吉扎布博士的矢量积。

 我隐约感到把离散的完备的概率分布用矢量表达可以有很多好处。分量的合计值=1，分量的平方和有重要物理意义都是重要启发点。

转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自张学文科学网博客。

链接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-1060189.html