混沌的表面模糊不清，然而其核心却和分形紧密联系在一起。

无论是洛伦兹气象模型还是三体问题，都是一个确定性的微分方程，最终却产生了混沌的现象。混沌是系统长期演化的结果。因此，研究一个动力学系统的长期行为才有可能揭示混沌的本质。原来，一个系统的状态会随着某些参数的变化从平衡走向混沌。这个事实被称为倍周期分岔现象。

当参数的取值在一定范围时，系统会长期趋于一个稳定的状态。这个状态就是人们期望预知的终极状态。比如一个在空气中运动的小球如果没有其他外力的驱使，最终会静止下来。这种静止态就是小球的归宿。可是当参数的取值发生变化时，系统的终极状态不再是唯一的，而可能是在两个状态之间彼此摇摆。系统在单位时间内从一个状态跳到另外一个状态，然后再次经历单位时间，系统再次从另外一个状态跳回来。因此，系统回到相同状态的时间就变成了单个状态的两倍。随着参数值的继续增加，终极状态的数目也在迅速增加，每次都会以两倍的形式递增。这就是倍周期分岔现象。

倍周期分岔（图片来源： 网络）

倍周期分岔现象是系统出现混沌的先兆，最终会导致有序到无序，稳态向混沌的转变。当参数出现更大的变化时，倍周期分岔现象呈崩溃之势，平衡点已无法区分，连接成一片连续区域。此时就出现了混沌。而倍周期分岔现象就具有自相似性及普适性等重要的特征。这个与内在随机性密切相关的几何性质揭示了倍周期分岔现象与分形、混沌、奇异吸引子等之间的内在联系，也成为混沌内蕴的秩序象征。

凡事皆有利有弊。混沌的出现带来了混乱，却也在某方面带来了希望。既然扰动会带来破坏性的结果，那么寻找合适的小扰动，就可以起到四两拨千斤的效果。这就是混沌控制的精髓。

太空旅行中，也许通过混沌控制，使用极少的燃料就能实现星际穿梭。混沌里的蝴蝶效应更可以在医学上一展宏图，诸如控制心律失常、抑制癫痫等等，甚至还能让湍流过渡为平稳的运动，减少飞机的危险。

图片来源： 视觉中国 

不仅如此，混沌甚至是调节国民经济、缓冲经济危机的利器。众所周知，股市是经济的晴雨表。传统经济学认为，股市是随机游走的布朗运动，其波动符合对数正态分布。由于其高度的随机性，人们无法预测股市的未来，更无法指定合适的政策来维护股市的稳定。

然而，经过多年的实际观测，股市的表现更多呈现出尖峰肥尾的特征，在一定程度上偏离了随机游走的假设。1982年，美国经济学家德依引入了混沌研究经济学的表现。随后，人们开始在各种市场上应用混沌理论寻找其吸引子的特征，并取得非凡的结果。经济呈现出的混沌现象愈来愈多。

经济混沌的存在，虽然不能极大改进经济预测的能力，但是却可以大幅度改善政府对市场的调控能力。这对经济周期的波动和股市的灾难预警提供了更多的宏观政策依据。

图片来源： 视觉中国 

混沌的极端不稳定性和对初值的敏感依赖还被用于通信加密。信号一旦被监听干扰就会产生不可逆转的误差，这为破译信号带来极大的的困难，更是开辟了通信技术的新天地。

分形是天使，它呈现出的玄机和美感为人类提供了丰富的灵感源泉。美妙的分形奏响了一曲迷人的音乐篇章，其深刻的本质完全颠覆了人们对传统事物的认识。

混沌是魔鬼，它成为复杂现象的代名词，更是牛顿的确定科学论终结的标志之一。混沌为人们探索真理的疆域划定了边界。在混沌的笼罩下，人们无法预知诸多复杂系统的未来。然而，这也激发了人类持续进步、永不枯竭的创造能力。世界的命运就掌握在你我手中，没有什么比确定性的结局更让人沮丧，也没有什么比一切皆有可能更加振奋人心。

天使和魔鬼，组成了世界运行的规则。它就是真实世界的两面。在魔鬼的内心，隐藏着天使的灵魂。在天使的背后，潜伏着魔鬼的骚动。认识世界的复杂性，摒弃单一的二元对立思维，才能真正走入现代科学的复杂时代，迎接更多可能的未来。

 (全文完)

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混沌与分形（四）：分形是天使，混沌是魔鬼？

作者单位：中国科学院数学与系统科学研究院