【书评】|规模的硬规律（六）

作者：万维纲 

科学作家  “得到”APP《精英日课》专栏作者

（续）

2. 分形的维度

如果你是科学爱好者，你肯定早就听说“分形”了。简单地说，分形结构就是你把一个东西的局部放大，发现它和它的整体很相似，再把局部的局部放大，又和局部很相似，我们可以这样一直对比下去，这就是“自相似”。海岸线、树杈、树叶都具有分形的特点。下图是一片叶子的分形。

一片叶子的分形

从中选择一个局部放大，也像一片叶子。再来看一个抽象但是严格的分形。

分形示意图

这条想象中的曲线的任何一部分都是一样的形状，不管你怎么放大都一样。这条曲线叫作“科赫曲线”（Koch cureve），它的生成方法如下。

科赫曲线的生成方法

先取一条直线，把它三等分，然后在中间的线段向外突出一个三角形。对新产生的每一条边再做如上操作，以此类推，以至无穷。

这就是最基本的分形概念。现在我们要做的是测量分形的“维度”。为此，咱们先看看“正常”形状的维度是怎么算出来的。

看下面这个示意图。把一条线两等分，你就得到两条线。把一个正方形的边两等分，你就得到4个正方形。把一个立方体的边两等分，你就得到8个立方体。其中的4和8，分别是2的2次方和2的3次方。这个2和3，就是正方形和立方体的“维度”。

正方形和立方体的“维度”

现在集体舞把这个概念推广一下。以此类推，如果你把一个东西的边分成r 等分，你就得到了N 个小东西：

这个D 就是维度。正方形的D=2，说明它是二维的；立方体的D=3，说明它是三维的。反之，取个对数，我们也要以说：

这就是计算任何图形的维度的公式。那咱们来算算前面那个科赫曲线的维度是多少。注意，这不是一条平常的曲线，这是一条想象中的、细节无限可分的曲线。

科赫曲线的维度

按照最基本长度的1/3为一段分段，横向分3段的话，这条曲线的长度是4段，相当于上图中第二条曲线。按照长度的1/9分9段，曲线的长度是16段，以此类推。也就是说，r =3，则N =4；r =9，则N =16；......注意，r 和N 的变化是这么一直以乘方的形式变的，而取对数再做除法，所有的乘方就都被消除了，所以维度永远都是：

这就是分形特殊的数学性质。一般的线都是一维的。科赫曲线明明是一条线，但因为它是一条特殊的、中间有无限细节的线，它居然不是一维而是1.26维的！

这个结果就是说，分形可以增加维度——出现了分数维，所以才叫“分”形。

我们再看一个更特殊的情况。把科赫曲线中那个三角形的夹角无限缩小，直到变成中间突出的一条线段，那么一直分形下去是什么结果呢？是下面第四幅图的样子。

​

科赫曲线的分形（不同夹角）

这条特殊的科赫曲线布满了它所在区域范围内的整个平面！相应的维度为2。也就是说，它已经不再是一条“线”了，它已经变成了一个“面”！

当你把一条线铺满整个平面时，它就多出来了整整一个维度。这是今天分形告诉我们的最重要的消息。

（待续）

来源：

万维纲。规模的硬规律。见：《规模》解读本。中信出版集团。2018.6

-----------------------------------------------------------------------

《海洋生态大讲堂》微信公众号

浙江省重点智库宁波大学东海研究院合作微媒平台

海洋在说话，您我来代言！

《海洋生态大讲堂》欢迎您！

投稿邮箱：550931758@qq.com

请您在留言中标注为《海洋生态大讲堂》投稿，

并提供个人简历及联系方式。

我们筛选审核后，将以全文刊出！

热烈欢迎广大自愿者合伙参与公众号运营！

                附： 投稿类型与要求

                （1）主题一定是有关海洋生态学内容的稿件；

                （2）原创文章，请配必要的图表；

                （3）好文推荐，直接发来原文，或请注明出处；

                （4）重要会议报道或信息，请附必要图表及其标题说明；

                （5）重大项目科研进展，或重大会议学术报告PPT；

                （6）重点团队介绍，或重要人物专访。

您的赞赏是我们前行的最大动力