SLE理论

                       向开南 2014年10月于天津

  为研究复分析中著名的Bieberbach猜想，C. Loewner于1923年引进了描述单参数共形映射形变的Loewner Evolution (LE)并且用它证明单叶函数的第三个Taylor系数的绝对值不大于3。LE在de Branges上世纪80年代完证Bieberbach猜想中起着重要的作用。共形映射是复分析中一重要的研究领域； L.V.Ahlfors（Fields奖、Wolf奖得主）、L.Carleson （Wolf奖、Abel奖得主）等均深入地研究过此类映射。

自20世纪80年代以来，共形场论(CFT)已成为一理论物理与数学相互作用而产生的主要物理分支。至今它仍然在高维量子场论的发展中起相当重要的作用。从CFT角度出发，许多物理学家预言或猜测：诸多来自统计物理的2维临界数学模型具有共形不变性（共形不变Scaling极限）；这些模型包括渗流、自回避游走、Ising模型、 FK模型与 O(n) loop模型、去loop随机游走（LERW）、均匀展开树（UST）等。从1994年开始，一些数学家如Wolf奖得主R. Langlands等试图从数学角度理解2维统计物理模型-渗流的共形不变性。

为研究前述共形不变Scaling极限，首先必须回答的问题是这些极限是怎样的数学对象；1999年O. Schramm（SLE理论开创者，瑞典皇家科学院外籍院士，2006年ICM 1小时报告者，Ostrowski奖、Polya奖、Henri Poincare奖、Loeve奖等得主）引进SLE_κ并回答了这些极限只能是某SLE_κ，这里κ是非负常数、SLE表示Schramm-Loewner Evolution。粗略地说，SLE是平面上具有共形不变性及一定Markov性的单参数随机曲线族。注意引进SLE的原始动机来自于寻找G. F. Lawler 1980年引进的LERW的连续版本模型；共形不变平面随机曲线的研究可以回溯到P. Levy 1946年的发现：复布朗运动的共形不变性。

自此以后，SLE理论成为一个吸引了一大批国际顶尖数学家、物理学家的重要数学领域、物理领域。该理论由概率论、复分析、2维统计物理、量子共形场论、重整化群、组合数学等相互作用而产生。P. Lax（Wolf奖、Abel奖得主）（2008）在阐述数学与物理的关系时，将SLE作为数学、物理相互影响、促进的典型例子。SLE理论在国际数学家大会上的报告情况如下：G. F. Lawler (美国科学院院士)2002年45分钟报告；S. Smirnov（2010年Fields奖得主）与W. Werner（2006年 Fields奖得主）2006年45分钟报告、O.Schramm 2006年1小时报告；S. Sheffield（M. Loeve奖得主）2010年45分钟报告，B. Duplantier 2014年45分钟报告。

目前已知：三角形格点上的临界渗流的单个界面的共形不变Scaling极限为SLE₆，LERW的共形不变Scaling极限为SLE₂、UST的共形不变 Scaling极限为SLE₈，Harmonic Explorer与高斯自由场的共形不变Scaling极限分别为SLE₄与它的一个变形版本，Ising 模型与Ising random cluster模型的共形不变Scaling极限分别为SLE₃与SLE_16/3。大量统计物理模型的共形不变性还缺乏严格的数学证明。注意假定离散临界统计物理模型具有共形不变Scaling极限往往是共形场论的出发点。因此对SLE理论而言，最有意义通常也最困难的问题或挑战是证明2维临界统计物理模型的共形不变性。

在此领域中，还有大量的重要的公开问题或猜想有待于有志气的数学家去攻克。例如，在介绍W. Werner获Fields奖工作的文章（Notices AMS. 54(2007),no.3,388-404）中，H. Kesten（美国科学院院士、国际数学家大会1小时与45分钟报告者）提到的自回避游走模型（SAW）的共形不变Scaling极限的存在唯一性问题；它的解决将回答60多年前物理化学家、近30年前物理学家的惊人预言。