量子力学曲率解释与物理学的统一

                     吴新忠

                     sju@sina.com

  上海交通大学科学史系  上海市闵行区东川路800号（200240）

师志恒  中国长沙雅典娜研究 zhihengshi@sina.com

摘要：量子力学曲率解释在物理学思想层面谋求相对论与量子力学的统一迈出了一大步，本文结合学者们的一些新的研究，进一步讨论相对论与量子力学的深层次统一问题，涉及从相对论变换推导量子假说，康普顿物质波与德布罗意物质波的关系，超光速现象在量子层面是否存在以及如何理解等问题。

关键词：量子曲率  康普顿物质波  

1. 量子假说与相对论变换

量子论起源于经典物理学体系中出现的反常的经验问题，以及相伴随的概念问题。经验问题是黑体辐射，光电效应，原子光谱，原子稳定性，比热等问题。概念问题集中体现在我们考虑分立的粒子体系与连续的场体系之间的热平衡，光辐射和物质结构问题时出现的种种佯谬。牛顿力学的粒子纲领和电磁学的场论纲领无法通过热力学，统计力学的方式沟通和协调，暴露了经典物理学的深刻危机，是量子论革命的历史背景。

      1859年，通过基尔霍夫等人的研究，已经证明黑体辐射的“成分”（能量按频率的分布）只依赖于周围腔壁的温度而不依赖于腔壁的材料，或者说：“在相同的温度下的同一波长的辐射，其发射率和吸收率之比，对于所有物体都是相同的。”这里涉及的就是某个确定温度的黑体，电磁辐射和粒子处于平衡态:　dE=cρ(ν,T)dν　（1.1）

 1900年，瑞利和琼斯根据能量均分原理计算出，物体的所有能量都会被场吸收完——没有极限！此处发生了物理上荒谬的事情——紫外灾难：如果物质和辐射振子按照经典观念是完全连续的，物体分子和原子热运动的能量就会不断地跑到电磁场中去，用来激发越来越高的频率的电磁辐射振荡，从而使热平衡永远无法达到，因为热平衡意味着需要无穷大的辐射能，导致所谓的“紫外灾难”： 

ρ(ν,T)=(8πn2/c3 )kT       (1.2)

按照十九世纪末期大多数人的看法，一个有重物体的内部自由度是一个有限的数；另一方面，电磁场是连续的三维体，它的自由度是连续的无穷大。现在，当我们考虑电磁场和有重物质的相互作用时，特别是考虑到二者的能量平衡时，我们就在自由度数方面遇到分立有限值和连续无限值的一种对立。只要有那么一点点哪怕是极微弱的电磁场，假如能量均分原理还能成立，则当场和物体之间达成了能量平衡（热力学平衡）时，有限自由度的物体能量都会被无限地均分到具有无限自由度的连续电磁场中，于是每一个物体的温度都只能是绝对零度，而全部的能量都被吸收到了电磁场中去。这个从紫外灾难问题的深入分析中得出的结论是，连续的电磁场和分立的质点体系在能量均分条件下达到热平衡时，必然破缺热力学第三定律。在能量均分原理应当取得“胜利”的地方，事实上却存在着遮断阳光的“乌云”[1,p205-206]。

当然,在场的低频处,能量分布正如瑞利和琼斯所预言的那样。但是，在预言到紫外灾难的高频处，实际观察显示，能量分布并没有无穷增加，而是随着频率增加而下落。在给定的温度下，能量分布的最大值发生在非常特别的频率处，这就是高温物体中化学元素的特征光谱。瑞利和琼斯的黑体辐射定律，既有紫外灾难这种严重的概念问题，又不符合经验事实。

另一个维恩公式在短波段与实验事实一致，而在长波段有较大误差：ρ=（8π ν3 /c3）a’e-aν/T   (1.3)

式中a和a’为两个常数[2,p17]。

在维恩公式的推导中，把空腔中的辐射场看作是各种分立波长的驻波集合，每一个可能的驻波对应于电磁场的一个自由度。于是，维恩引入了一个新奇的假设：“当温度为T的气体同辐射处于平衡时，从分子释放出来的辐射波长和强度仅决定于分子的速度。”这就引入了一个与电动力学不相容的假定，从而把物理学直接带到量子物理的大门口。

 1900年,普朗克采用了两条特设性的热力学假设,推导出了跟实验吻合的黑体辐射能量-频率分布定律,这就是普朗克定律,它在低温（长波长极限）时与瑞利-琼斯定律一致,在高温（短波长极限）时与维恩定律一致：

 ρ=(8πν2 /c3)(hν/exp[hν/kT]-1)    (1.4)

这两条假设是：一是量子假设，即谐振子系统总能量是由有限个大小为E=hν的不可分解的能包所组成；二是记数假设，即计算谐振子的熵时，把粒子视为全同粒子。粒子的全同性与量子假说一样，是完全不同于经典统计的新概念，没有全同粒子的假设，我们无法推导出普朗克公式，它是黑体辐射定律的内在要求。

    物理学家普遍认为，量子假说先于狭义相对论出现，尽管它与相对论不矛盾，但它在逻辑上是独立于相对论的，似乎不可能也不必要从相对论中推导出量子假说。但是，长沙学者师志恒在最近的物理学手稿（估计不久发表）中，结合黑体辐射的实验定律与相对论的洛伦兹变换，重新推导出量子假说，表明了量子假说与相对论的深刻联系。在他的论文中，首先从多普勒效应的相对论变换出发，推导量子假说：我们不先行设定Plank公式，而只认定，那么光量子等作为粒子的能量交换式是

其中，故

解得：     或者

（1.5）

故（为与参考系无关的常数）

其次，如果把爱因斯坦的《论运动物体的电动力学》中关于时空坐标的洛伦兹变换代入波函数的相位因子中，就得到频率变换公式是

或        (1.6)

故 其中必然为常量，且须为与参考系无关的不变量才能确保上式成立，由此可见，仅仅从相对论原理下的Lorentz变换或迈克耳逊-莫雷实验的零结果，或者静止系中的球面光波在洛伦兹变换中成为运动系中的椭球光波出发，都可以推证场速为光速c的波动，能量应与其频率相关公设之下，必须是线性相关函数，这样就提升了Plank量子论开创假说或的层次，成为与有同样物理基础的一种定理[3,p50]。

                 2. 康普顿物质波

   德布罗意认为，爱因斯坦得出的适于光子的方程式E=hν和适于实物粒子的方程式E=mc2对于光和实物粒子都是普遍成立的。因此，在固定于静止质量为m0的粒子上的参照系内，其周期过程的内部频率为  ν0=m0c2/h ；

但当一个静止观察者看着该粒子以速度v运动时，其振动频率将减少为   ν1=ν0(1–v2/c2)1/2 =(m0c2/h)(1–v2/c2)1/2        （2.1）

另一方面，运动粒子的能量 E=m0c2/(1–v2/c2)1/2,

相当的频率为   ν2=ν0(1–v2/c2)–1/2=m0c2/h(1–v2/c2)1/2    (2.2)

显然，ν1和ν2是不同的。

德布罗意从频率ν2和波长λ=h/mv=h(1–v2/c2)1/2/m0v得到相位波的相速vω=c2/v ，它不同于粒子的速度v , 而且远大于光速。按照德布罗意的假设，相位波大于光速，但如果相位波不传递能量和信息，就不会出现违背因果律的现象，这里包含着量子非定域性的一个源头。

在静止观察者看来，存在着以速度v运动和内部振荡频率ν1的一个粒子，缔合着一个与速度vω和频率ν2有关的波。现在，粒子可以解释为是一个保持与波同相位，相对于波以速度vω–v 位移的微观时钟。换句话说，对于任一伽利略参照系，一个运动的量子粒子的内部时钟的相位在每一瞬间等价于粒子所在的同一点上计算出来的波的相位的值[2,p32-34]。

在德布罗意原来的相位波理论中，不仅出现粒子的内在振荡频率和量子波动频率的不一致，而且粒子运动速度与波的相速不一致，另外在分析问题时同时使用相对论公式和伽利略参照系。为了解决这些概念问题，赵国求先生引入了康普顿物质波的量子力学新表象，并提出了量子概率的几何化理解——量子力学曲率解释[4,p311-315]。

我们假设静止观察者的参照系为A系，与粒子一起以速度v运动的参照系为B系。德布罗意设想B系与静态粒子联系的“物质波”实际上是一种振动。粒子是个振动的质点，A系中的物质波是振荡粒子运动的结果。但是，结合康普顿波长，在现有理论的基础上，我们完全可以构造一个与静态粒子联系的真正的物质波。

量子力学指出，以静态粒子联系的频率是  ν0=m0c2/h

与静态粒子联系的康普顿波长是   λ0=h/m0c

显然，ν0和λ0构成一个与静态粒子的物质波——康普顿物质波φ0的频率和波长，波速为光速c。

            φ0=a0•exp{(2πі/h)(P0•r–E0t)}     （2.3）

其中r为位移矢量，即粒子运动的方向，且令P0•r=0,  P0=m0c  (p0=m0c),  E0=m0c2,  P0具有动量量纲，故称为静止粒子的康普顿动量。采用闵可夫斯基空间处理，康普顿动量相当于物体在虚原时空间做光速移动。

我们可以把静止粒子设想为球形空腔, 从中心发射虚光子撞击空腔, 并且重新收缩到中心, 正好是滞后波与超前波的叠加, 而且相当于微观时钟。康普顿动量是定义在固有虚时的空间中的, 相当于虚光子在空腔膜上撞击的动量, 我们可以把空腔膜的质量设想为机械质量的一个来源, 虚光子的质量参与形成电磁质量。于是，相对论形成之前洛伦兹电动力学中的电子质量的双重起源有了量子对应物。普朗克解决黑体辐射引入量子谐振子的理由是电磁辐射可以设想为电荷加速运动或旋转的产物，本来就是类比推测，我们没有理由必须设想量子波动是在实在的时空进行的，引入虚时空间（康普顿空间）中的振动反而更有道理。谐振子的全同性一方面来自具有实验依据的普朗克黑体辐射的内在要求，另一方面也意味着虚时空间中的谐振子在实时空间中的投影必须被当作是全同的，正如人与树木在地上的投影可以当作同类型的。

上式所描述的物质波是静态粒子与B系对应的物质波，其波长λ0和频率ν0体现了静态粒子的空时尺度。这是粒子已不再是质点，而是具有一定的时空线度，相当于一个以半径为λ0的环流。如果考虑电子自旋为h/2的特殊情形，那么只有旋转两周（4π）后才能恢复原态，因此电子作为环流是个缪比乌斯带。φ0则构成了粒子不动时，A，B系内的时空背景场。

粒子在A系看来是做匀速直线运动的，于是粒子质量由m0变为m，m=m0(1–v2/c2)-1/2。根据量子力学，此时与粒子联系的波动频率是ν2=mc2/h。

若动粒子的康普顿波长λc定义为  λc=h/mc，则ν2和λc可构成一个与动粒子联系的康普顿物质波φ（A系内）：   φ=a•exp{(2πi/h)(Pc•r–Et)}       (2.4)

式中Pc=mc  (pc=mc),  E=mc2 ,  Pc也具有动量特征，因而称Pc=mc为运动粒子的康普顿动量，c为波速。φ体现的是运动粒子内在量子波动在时空中的背景信息。

我们假设与静粒子对应的波动φ0完成一个全振动的时间是T。粒子静止时，B系中的静止观察者使用的计时单位是τ0，他测量此波场的振动周期是： T0=T/τ0  

因此，粒子静止时对应的波场频率是    ν0=1/T0=τ0/T

粒子运动，在A系中的静止观察者再注视这个与粒子联系的波动，其计量时间的单位变大了：τ0’=τ0(1–v2/c2)-1/2，因而与运动粒子对应的波场φ的周期变成： T0’=T/τ0’

粒子运动后对应的波场φ的频率是： ν2=1/T0’ =τ0’/T

于是ν0和ν2之间的关系是： ν0/ν2=(τ0/T)/(τ0’/T)=τ0/τ0’=(1−v2/c2)1/2

故     ν2=ν 0(1–v2/c2)-1/2          (2.5)

这与从质能关系和普朗克关系推出的结果一致，但是物理意义更明确。ν0是粒子静止时对应的静态康普顿物质波φ0的场频，ν2是粒子运动时对应的动态康普顿物质波φ的场频，显然与运动粒子对应的康普顿物质波的场频是升高了，它与运动的时钟频率降低非但不矛盾，而且是互为因果的，正是因为运动时钟频率降低，才出现了康普顿物质波的频率升高，康普顿物质波是用光计时并测量后的物质波场。这就自然地解决了德布罗意相位波理论中两个频率不等的佯谬，而且都采用了洛伦兹参照系。

如果考虑运动系中的原子钟的测长单位变大导致所测物体长度发生洛伦兹收缩的效应，同样可以推出运动粒子的康普顿物质波波长小于静止粒子的康普顿物质波波长。可以肯定地说，德布罗意所说的与运动粒子对应的那个物质波应当是动态的康普顿物质波，而不是原来设想的相位波。在赵国求的新模型中，有质粒子被设想为光速旋转的环流，康普顿物质波的波速也是光速，利用相对于粒子本身静止的光信号测量得到的粒子环流的频率和相位，与康普顿物质波的频率和相位，无论在静止系还是运动系都是一致的。

让我们把静止粒子简化为球形空腔, 从中心发射虚光子撞击空腔, 并且重新收缩到中心,正好是滞后波与超前波的叠加,而且相当于微观时钟。当粒子相对于我们运动时，沿着运动方向空腔收缩成为一个椭球，虚光子来回撞击所需的路径变小，正好相当于运动粒子的量子波动频率增大，但是虚光子在运动方向的球面前后两端来回反射时，尽管在随着粒子运动的参照系看来符合异地同时性条件，但在外部静止观察者看来，中心发射的虚光子不是同时到达球面在运动方向的前后两端的，因此确定运动粒子的量子波动频率的方法不符合异地同时性条件，不能作为运动时钟异地对时方法，它当然不是运动时钟的频率（请大家回顾一下爱因斯坦讨论同时性的两辆列车的思想实验）。而在垂直于运动方向的虚光子，在运动电子的内部观察者看来，仍然走垂直路径，并符合同时性条件；而在外部静止观察者看来，虚光子所走路径成了两条斜线而变大，但仍然符合异地同时性条件，可以作为运动时钟的对时方法，导致运动时钟频率减小。粒子的自旋与内部虚光子撞击界面时的相位变化有关。如果球形空腔半径正好是康普顿波长，那么虚光子正好代表一个波数的振荡，量子波动可能代表空腔粒子的形态变化。即使是一般的封闭曲面空腔，或者把粒子看作是某种能够形变的连续介质，以上分析也能推广。现在，德布罗意相位波以及薛定谔波的波长反而需要重新解释，因为它们具有实验根据。如果合理地理解了物质波波长，那么薛定谔波应当看作是虚拟的相位波，只有处理实验数据的数学意义，并无物理空间中的实在波动对应物。

下面我们来看看康普顿物质波与薛定谔物质波的关系。

由相对论能量关系式   E2=p2c2+E02  (mc2)2=(mv)2•c2+m02c4

将后面的等式同时除以c2，得  (mc)2=(mv)2+(m0c)2

令  p1=mv ,  p1就是运动粒子的相对论动量。故有

       pc2=p12+p02

粒子的静止康普顿动量p0，运动康普顿动量pc，相对论动量p1之间构成了一个直角三角形，用矢量表示为：   pc=p1+p0

pc与p0 构成了一微小的偏角，而p1与电子运动的空间位移r方向一致（实际上p1是pc在r方向的投影），因此pc通过p1在空间方向上产生了粒子在空间上的波动观察效应。由p1构成的物质波是可以观察到的，因此当令m=m0时观察到的是薛定谔物质波；考虑到相对论效应，则由p1, E构成狄拉克物质波，它也是一个可观察效应。但是，这两个物质波的波长λ都不能代表粒子的线度，它只能对粒子线度的变化作出贡献，因为电子的真实线度应由康普顿“动量”pc决定。p1只是pc在运动方向上的投影，而另一个垂直于运动方向上的投影就是内禀动量p0 。

    赵国求把康普顿物质波的波长与粒子环流的半径联系起来，再把粒子环流在空间中投影得到的曲面形象用量子曲率来表示，发现归一化波函数得到的量子曲率与量子概率是成比例的，但包含了更多的粒子量子波动的定性特征，这就是曲面方向代表的相位信息，它与粒子内禀动量（静态康普顿动量）的方向有关。与康普顿物质波相关的粒子内禀量子波动的信息传播速度确为光速c，但是与粒子外在运动相关的波动形象的移动速度为vω=c2/v，这是一个相位波，不含动量和能量的直接转移，就像一束光在巨大平面或曲面上扫描的影子速度可以超光速一样。从康普顿物质波引申出德布罗意相位波，类似于波的调谐，相位波获得了作为基频的康普顿物质波的频率；但是通过晶格衍射实验观察到的却是作为泛频波的相位波波长；基频波长因为太小难以探测，泛频频率易变并且缺少物理意义，基频频率与泛频波长相乘就得到了超光速相速。目前量子力学中与量子跃迁，波包塌缩有关的超光速现象，应当构想具体的定域作用机制进行新的解释。德布罗意相位波虽然不含能量转移，却能影响其他粒子的量子波动相位；相位的变化相当于物质波曲面方向的变化，可以是不带能量的、也就是不可宏观观察的信息。在幺正演化中由于粒子波动的“周相谐合”，相位的变化不是随机的；而在量子测量过程中，粒子与仪器发生了退相干过程，粒子与仪器中的粒子随机交换能量和信息，原来的周相谐合的条件破坏，出现了随机相位，直到达到一个本征态，才会出现新的周相谐合条件；这与玻尔在量子测量理论中提到的仪器与粒子相互作用时会“不可控制地”在相应的本征态上产生任意的随机相角的观点一致。随机相角实际上是量子混合态的相位特征，它的变化可以用来解释量子测量过程中干涉项的消失问题，量子相位是一个具有间接宏观观察效应的隐变量。

量子力学中的作用量是薛定谔波的对数与普朗克常数以及虚数单位的乘积，康普顿动量可能与复数有关。量子作用量类似于熵，因而就是量子相位信息的表示。薛定谔波代表量子相位，同时相当于统计物理学中状态配容数，因此薛定谔波内在地包含微观状态的几率分布，由于托姆把热力学熵也做了超空间中的曲率解释，量子曲率解释同样与熵曲率有关。从E=hν与U=CT，dS=dU/T的类比中，可以得出普朗克常数相当于电磁场或理想光子气体系综里面与比热有关的常数，同时又是作用量的单位，而波动频率类似于温度。这种新的理解不仅意味着量子力学远比人们相信的那样符合而不是违背相对论精神，而且它本质上是具有复数特征的微观统计力学，因而不会产生违背热力学的现象。

【参考文献】

1. 戈革：《史情室文帚》（上卷），中国工人出版社，1999年3月第1版。

2. 金尚年：《量子力学的物理基础和哲学背景》，复旦大学出版社，2007年7月第1版。

3. 爱因斯坦  等：《相对论原理》，赵志田 刘一贯 译，科学出版社，1980年2月第1版。

4. 赵国求 桂起权 吴新忠 万小龙：《物理学的新神曲——量子力学曲率解释》，武汉出版社，2004年1月第2版。

[基金项目]教育部人文社会科学研究青年项目“量子力学解释与科学实在论”（07JC720016），上海市哲学社会科学一般课题“天文学的文化哲学”（2007BZX004）。

[作者简介]吴新忠（1968-），男，哲学博士，上海交通大学科学史系任教，中国物理学会相对论与天体物理学会会员，上海市科学技术史学会会员，研究方向为科学前沿哲学问题，重点是物理学与宇宙学哲学。