量子力学曲率解释与爱因斯坦的非欧线元理论

吴新忠

上海交通大学科学史与科学文化研究院（200030）

E-mail: sju@sina.com

摘要：随着广义相对论的兴起，以及微分几何在物理学中的广泛应用，我们发现曲率的概念已经贯穿于理论物理的各大分支。赵国求提出的量子力学曲率解释，不仅有助于协调量子力学与相对论，而且帮助我们以更接近广义相对论的思维方式来理解量子规范场论，认为在弱电统一理论的规范势与广义相对论中的引力势一样，代表着某种空间几何形态的弯曲。爱因斯坦在1927年，就根据赫兹在《力学原理》中的“最小曲率原理”，把薛定谔波动力学原始文献在有关量子波包具有曲率半径的思想，采用广义非欧线元的数学表述，提出了“ψ-曲率张量”的构想，但因为没有把握好深层次的量子关联，即后来玻姆提出的量子势的物理意义而误入歧途。

关键词：量子力学曲率解释   规范场   非欧线元

[基金项目]教育部人文社会科学研究一般项目“量子场论的本体论问题研究”（12YJA720013），江苏省哲学社会科学一般课题“科学研究范式与进步研究”（10ZXB003），2009年武汉钢铁（集团）公司项目：“相互作用实在论与量子力学曲率解释公理化体系研究”（2009-2011B121）。

[作者简介]吴新忠（1968-），男，哲学博士，上海交通大学科学史与科学文化研究院讲师，中国物理学会相对论与天体物理学会会员，上海市科学技术史学会会员，研究方向为科学前沿哲学问题，重点是物理学与宇宙学哲学。

一. 经典物理学中的曲率

尽管爱因斯坦在广义相对论中引入的时空曲率最引人注目，但是微分几何在物理学中的广泛应用，使得曲率的概念贯穿于牛顿力学，麦克斯韦电磁场论，相对论，热力学与量子力学，量子场论中。

用三维空间中的欧氏坐标给出的任意曲线x=x(t), y=y(t), z=z(t),即r=r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k ,有  ds=│dr/dt│dt=│vt│dt 。令t=s，于是相对于参数s的加速度的绝对值就是空间曲线的曲率：K=│d2r/dt2│，其中速度和加速度向量相互正交。因此，甚至在Newton力学的某种微分几何表述中，力与加速度已经与运动轨线的曲率发生关联[1,p34]。

在电磁学理论中，我们用向量值函数E和B来分别表示电场和磁场：E=(E1 , E2 , E3 ) , B=(B1 , B2 , B3)。把两个场合起来得到一个很有用的微分2-形式：

F=(E1dx1 +E2 dx2 +E3 dx3 )∧dt + B1 dx2∧dx3 +B2 dx3∧dx1 +B3 dx1 ∧dx2 

把Hodge符号*作用于F, 使得其中的电场与磁场互换，就得到F的对偶形式：

﹡F= -(B1dx1 +B2 dx2+B3dx3) ∧dt + E1 dx2∧dx3 +E2 dx3∧dx1 +E3 dx1 ∧dx2

著名的Gauss, Ampere, Faraday, Maxwell方程为

divE=4πσ, curlB=4πj+∂E/∂t, divB=0, curlE=-∂B/∂t

其中σ是电荷密度，j是电流。

为了简单起见，我们假定σ=0，j=0。

采用微分几何术语，Maxwell方程组的四个方程可以写成[2,p118-119]  

  dF=0,   d(*F)=0  

第二个方程其实就是U(1)纤维丛上的Bianchi恒等式，一个无挠的联络使得它恒成立，在这里，F相当于曲率2-形式场ΣFijdxi∧dxj。这个方程对应原始的Maxwell方程组里的两个，其中一个说明，磁场散度为0。包括Cartan和Hodge在内的数学家们注意到，Maxwell方程应该解释为某些被称为向量丛的几何对象的曲率方程。

Maxwell场方程的建立为后来狭义相对论的建立奠定了理论基础，它明确地召唤着Lorentz变换。迈克尔逊-莫雷实验导致了光速不变原理的确立，H.Poincare提出了相对性原理。Einstein对Lorentz变换的重新解释，迫使人们接受同时的相对性，并引向H.Minkowski的四维时空观。

在Lorentz变换下，能量-动量向量（E,cp）如同4向量那样变化。质点的4动量位于质量的曲面上，4动量由关系式p0=E,pα=cpα（α=1，2，3）与能量和三维动量相关联，曲面上具有Lobachevsky几何结构[1,p254]：       E2-c2p2=m2c4  。

广义相对论就是使相对性原理从惯性系推广到任意运动的参照系。这意味着在任意的时空坐标变换下物理规律保持不变，张量微分成为表达这种广义协变性的最合适工具。在物理学中，用张量方程的形式表达的定律是按定义张量的坐标变换从一个参考系变换到另一个参考系的，这些变换把相同空间中的不同参考系联系起来。

伽利略对教堂里的单摆和比萨斜塔上的自由落体的观察已经表明物体的惯性质量和引力质量是等效的。1907年，爱因斯坦提出了“等效原理”，即对在一个被加速的参考系中的物理现象的描述与对在引力场中的一个惯性系内的物理现象的描述是等价的。从这一点出发，就产生了这样的思想，即按照牛顿理论在一个引力场中的运动可以看作是在适当的加速系中的“自由运动”（即无引力场）。第二步就是用一个四维弯曲空间来描述这个加速系，四维弯曲空间的度规 ds2=Σgijdxidxj 代表任意空-时变换（即洛伦兹变换不再限制在平直空间）[3,p123-127]。

爱因斯坦通过对牛顿引力理论的泊松方程进行推广而得到引力场方程。他认为牛顿引力理论的泊松方程▽2φ=4πGρ/c中的ρ，应对应于引力源体系的质量，能量，动量以及全部的有关部分，能将这些量做统一描述的只有能量张量Tμν；而牛顿引力势φ则对应于时空度规张量gμν，再根据张量的对称性，协变散度为零以及缩并的规则，最后终于找到了协变形式的引力场方程： Rμν–gμνR/2=8πGTμν/c4 。      

其中G为牛顿引力常量，Rμν为里奇张量，R为曲率标量（经曲率张量Rμν 的各要素的加权后计算得到，gμν的权重理解暗示着时空度规不仅有曲率特征，也有几率特征）。引力场方程的左侧描述了引力场时空的弯曲性质，而右侧描述了引力源物质体系，它们在场方程中的结合，恰恰反映了马赫原理的思想。John Wheeler指出，爱因斯坦的广义相对论意味着“时空告诉物质怎样运动，而物质告诉时空如何弯曲。”

爱因斯坦后来构造了把电磁场也表示为弯曲时空结构的统一场论模型：早期是追随克莱因-卡鲁扎理论，把电磁场处理为卷曲为圆柱管的第5个额外维（圆柱曲率与电荷有关）；最后是用非对称张量代表电磁场，并加入到对称的引力场张量中。但是，微观物理学的巨大进步以及引发的新问题，使得爱因斯坦构造统一场论的梦想变得遥遥无期。

           二. 规范场论与量子曲率

1918年，德国的韦尔（E.Weyl）提出了规范变换概念。他试图通过物理规律不因时空中每一时空点量度尺度的变化而改变来推导出电磁理论。在时空中每一点上，量度时空尺度的改变称为定域规范变换。 1927年，福克和伦敦发现，只要在韦尔理论的尺度因子前加一个虚数因子(-i)，则韦尔的理论就不再是“规范变换（尺度变换）”理论，而变成了“相因子变换”理论，并正确地描述了电磁场。在量子力学中，波函数整体的相位选择是任意的。当波函数的相因子改变时，力学量的观测值不受任何影响，与这种不变性相关联的守恒量就是电荷。

规范场论以一些对称性原理为基础，其中最重要的一条叫做定域规范不变性原理。韦尔证明：如果在拉格朗日量中用协变导数取代普通常数：∂μ→Dμ=∂μ-ieAμ ，那么相对于波函数的相位定域变换群来说，狄拉克理论是不变的。现代规范场论的基本思想是杨振宁和米尔斯（R.L.Mills）于1954年提出来的，他们将规范变换与规范场的思想又作了进一步的扩展，首次建立了普遍化的规范对称的数学理论。他们把物理学中的对称性分为整体对称（空间各点做相同变换下的对称性）与定域对称（空间各点独立变换下的对称性）。

根据杨-米尔斯理论，如果一组物理规律原来满足整体对称变换下不变，若将它推广到定域变换下不变，就必须引入新的场。规范场量子就是一种新粒子，该粒子的交换就会引起新力。就这样，杨-米尔斯理论就给出了描述各种力的起源。任何一种新的场，新的粒子与所相应的新力的作用，都可以从一个统一的规范场理论中推导出来。定域规范变换能够改变场量的拉格朗日量，这意味着与定域规范变换有关的内禀空间的转动扭曲了粒子或场所在的坐标系的时空变量——位置变量与时钟变量，形成了一个弯曲的纤维丛镶嵌在平直或弯曲的时空坐标的底流形上；或者说内禀空间的转动产生了力的效应，就像轮胎各点之间独立运动导致轮胎表面伸缩出现弹性力；这种新产生的内禀空间扭转力是用规范场产生的规范势来表示的，类似于引力场或者非惯性运动扭曲时空坐标产生引力效应或惯性力效应。因此，规范场也具有引力场的曲率特征，比如杨-米尔斯场描述了电荷空间的平行位移，并决定电荷空间的曲率特征。在阿贝尔群U(1)的情况下，电荷空间的曲率张量与电磁场强度张量一致，这就成功地把电磁场几何化了。但是，将这种场与时空本身的性质关联起来的大量尝试尚未成功。在规范理论中，规范势扮演的角色，类似于广义相对论中的引力势。引力势是与切丛中的线性联络相关，体现的是时空底流形的曲率；规范势是与主纤维丛的联络相关，规范场强相当于纤维丛的曲率[4,p6-8]。

在弱电统一理论中，光子质量为零，相应的传递电磁作用的规范场是电磁场，没有质量，这是符合实验事实的。但是传递弱相互作用的规范粒子——中间玻色子W±,Z0是有质量的，如何使规范粒子获得质量呢？这可借助于对称性的破缺与Higgs场来实现。赵国求认为，在弱相互作用中，真空能够自发破缺,与Higgs场对应的几何形态是不均匀的与不对称的，这表明希格斯粒子受到了某种新的作用，这实际上是Goldstone玻色子的作用，在这个场作用下，Higgs场的几何形态变得不均匀与不对称了，就象引力作用扭曲时空底流形，但是Higgs场的扭曲不是整体时空的曲率特征，而是时空中局域形态的曲率特征。在规范场论中，Goldstone玻色子是无质量的粒子，不能作加速运动，尽管它对Higgs场施加作用，并且扭曲了Higgs场，但是Goldstone玻色子的几何形态是均匀的与对称的，这就象均匀的流体充入轮胎能够改变轮胎的几何形态那样。Higgs场与Goldstone玻色子场的总系统的几何形态也是不均匀与不对称的。

如果只有一个Goldstone玻色子场参与作用，Higgs粒子也只能在一个场中（或内部空间的一个方向上）作加速运动，因此真空只在一个方向发生破缺。如果Goldstone粒子不只一个，那么Higgs粒子也就不只在一个场中作加速运动。有多少个Goldstone玻色子，Higgs粒子也就在多少个方向上做加速运动，真空也就在多少个方向发生破缺。于是，Goldstone玻色子的数目应该与真空破缺的数目（或破缺生成元的数目）相等，要使真空再度均匀对称，就必须引进与破缺生成元数目一致的规范场Aμ，规范场Aμ应该取代Goldstone玻色子的作用（表现为吸收了Goldstone玻色子的作用），这正是弱电统一理论中的要求。

如果弱相互作用中的三个规范粒子都有质量，那么，它们都应做加速运动。因此，由它们带进的几何形态会有三种不同的不均匀与不对称方式。要使空间的均匀与对称性不因它们而破坏，我们必须事先安排三种相反的不均匀和不对称。Higgs场在m2<0时刚好有这种功能。如果Higgs粒子提供的三种不均匀，不对称形式与弱作用规范粒子提供的三种不均匀不对称形式相互抵消，时空自然会恢复原有的均匀性和对称性，自然规律与拉格朗日密度自然保持不变，这就是Higgs机制的作用。

当规范场论间接地显示曲率与量子力学的关系的时候，我们发现量子力学中的曲率概念早在薛定谔的经典文献《作为本征值问题的量子化》中就已经萌芽。在《关于波动力学的第三次演讲》中，薛定谔认为[5,p43]，作为波动力学的经典出发点的哈密顿-莫培督原理，在定义广义坐标q空间的线元的时候，引入了Heinrich Hertz所应用的广义非欧几何，即ds2=2(qk ,dqk /dt)dt2。而最后得到的波动方程（或者比较恰当地说，是振幅方程）是▽2ψ +8π2 (E-V)ψ/h2=0, 其中▽2既不能理解为三维空间中的初等拉普拉斯算符，也不能理解为多维欧几里得空间中的初等拉普拉斯算符（就是关于坐标的二阶导数之和），而应该把它理解为拉普拉斯算符在广义非欧几何的q空间的线元下的推广[5,p21-22] 。

在此约定之后，诸如两个线元之间的角度，正交性，矢量的散度和旋度，标量的梯度，标量的拉普拉斯运算及其他概念都可以如在三维空间的欧氏空间中一样简单地运用：所有q空间中的几何表述，都取广义非欧几何线元的意义[5,p43]。

几何光学仅仅是光的粗略近似，而要沿着波动理论的路线，在q空间中光学的进一步发展中保持这种类似，我们就必须小心不明显地偏离几何光学的界限，即选择波长足够的小，与所有路径的尺度相比很小。或许我们的经典力学完全类似于几何光学，因而是错误的，与实在不符；一旦曲率半径和路径的尺度比之于某个被赋予q空间的实在意义的波长不再很大时，它就失效了。这样，问题就成为寻求一种波动力学，而最明显的方式，就是从哈密顿相似出发，沿着波动光学的路线去求解[5,p45-46]。

正如薛定谔关于ψψ*代表权重函数的萌芽思想被玻恩发展成为量子力学几率解释一样，法国数学家Rene Thom在《结构稳定性与形态发生学》，《突变论：思想与应用》等论著中发挥了薛定谔关于波函数的曲率解释萌芽，并提出了热力学熵的曲率解释；以中国学者赵国求为代表的等学者更是在《运动与场》，《物理学的新神曲》，《物理学与哲学之间》，《从相互作用实在到量子力学曲率解释》等论著中，全面系统地阐述了量子力学曲率解释，通过与其他解释的对比，我们发现这是目前为止最与相对论相协调的量子力学解释，最接近薛定谔的科学思想与爱因斯坦的物理学理想。如果能够得到进一步的发展，将对物理学的未来发展产生划时代的深远影响。

托姆考虑了二个保守的Hamilton系统量H1与H2，并假定系统是热力学耦合的，使得它们在几乎全部时刻里演进，仿佛系统S1与S2之间没有相互作用，除非在很短的持续时间内随机的突变过程交换能量，由于形成随机作用，系统在能量超曲面D域上正比于D的Liouville测度（遍历假设）。导数a(x)=dm/dx表示能量超曲面的H=x的(2m-1)体积，对于两个保守系统分别为a1(c－t)和a2(t)。系统的微正则熵是函数S(X)=lna(X)，系统的温度是T=(dS/dx)-1; 几何上该温度是在超曲面的平均曲率的整个能量超曲面上的平均之倒数，相当于系统中分子的平均平动动能。对于两个保守系统，温度分别为T1和T2，微正则熵为S1和S2。在托姆的这种描述中，统计系统的温度和熵已经有了与能量超曲面平均曲率有关的几何意义：能量超曲面的曲率实质上表征了统计系综相空间各轨线的弯曲扭转程度，它可视为分子运动轨道由于碰撞发生的偏折程度的间接反映[6,p60-61]。比如，当分子不受碰撞，沿着某一条直线匀速运动时，运动轨道的曲率为零，分子在轨道外的任何一点出现的概率为零，在轨道上任何一点出现的概率，通过对无限延伸的直线归一化平均后也是接近于零的无限小；当分子在某个小区域频繁碰撞，造成轨道偏折时，我们可以沿着各碰撞点勾画封闭曲线，曲线上各点的曲率就近似体现分子轨道的平均偏折程度，它正比于该区域分子发生碰撞的次数，与分子出现在该区域的概率正相关。

托姆认为, 由归一化条件∫∣ψ∣2dψ=1 可定义Hilbert空间的超曲面上有一泛函,它在无外势时简化为映射图形的总曲率; 薛定谔方程的定态形式△ψα =Eψα存在一个递增函数q=h(E)，它取决于量子系统的几何特征。量子系统的本征能量Eα越大,本征函数ψα的拓扑复杂性qα =h(Eα)就越大,即相当于ψα图形的总曲率越大。本征能谱E相应于具有结构稳定性的本征波函数ψ的谱，频率ν体现ψ图形的拓扑类型或局部曲率的变化率[6,p157-158]。

从波函数本质上反映微观粒子自身时空特征的指导思想出发，赵国求从波函数的振幅中分离出代表粒子自身时空特征的曲率因子——基准曲率（或特征曲率）：  Rn=∆pn/ћ  。

而基准曲率与不确定原理的关系是： ∆Pn• ∆xn=ћ ,  ∆xn=1/Rn  

氢原子每个能级n由徳布罗意波波长定义了一个与电子对应的曲率Rn ，我们称其为基准曲率。rn =na0 为基准曲率半径，它给出了电子在氢原子中每个能级上的基本波动形象，意味着n能级上正好有n节驻波。量子曲率与电子轨道半径(n2a0)的1/n成反比，代表电子驻波的曲率，但不是电子轨道的曲率（n=1除外），代表着弥漫于空间中的电子云的量子自组织力，体现广义坐标q空间的非欧特征，量子力学的表象变换类似于q空间曲面上的曲线坐标变换。在静电场的近似条件下，原子核的电磁规范场的电场分量的场强与轨道半径的平方成反比，与原子核电荷成正比，电场强度的曲率正比于空间中的电荷密度(核电荷与电子轨道能级曲面的高斯曲率的乘积)，代表着原子核对于电子云的经典约束力。因此，量子曲率与规范场强的曲率尽管有联系，却具有不同的数学物理意义。

我们发现，通过不确定关系得到的氢原子中不同轨道电子的基准曲率正好是径向波函数的振幅中可以分离出所定义的曲率因子，而且波函数|ψ|2与这种曲率成比例，因此对量子力学波函数可作出新解释，这就是量子力学曲率解释[7,p16-19]。范弗拉森也发现，如果态矢量由两个正交矢量（X，Y）表征，则在态W中作一个X测量产生值x，x在集合（x,y）中的概率即为P，那么P=x2 /（x2 +y2）=x2 /R2 。因此，态矢量的几何概率正比于它的黎曼球的高斯曲率，正比于能量超曲面上的对应轨线的量子曲率[8,p162]。

          三. 爱因斯坦1927年的隐变量理论[9,p139-140]

其实，在薛定谔采用赫兹《力学原理》中广义非欧线元的方法推导出波动方程不久，爱因斯坦就试图采用类似方法赋予波函数以曲率张量形式，来捍卫量子力学的决定论解释。

爱因斯坦的基本思想是独立于时间的定态薛定谔方程

    ( ħ2/2m)▽2ψ+(E-V)ψ=0    

能够被用来发现定义在n维（n=3N,N为粒子数）位形空间（非相对论N粒子体系的位形空间）中定义的任意给定波函数解ψ的动能K=E-V。他用动能的量子力学表述

                       K=-( ħ2/2m)▽2ψ/ψ      

来定义在质点力学中的等价动能为K=mv2=mgμνμ ν，

其中gμν是位形空间的度规张量，而μ是粒子的速度分量。这些μ是位形空间坐标的函数（即，它们定义了一个速度场，与之相切的是“流线”或可能的粒子轨道）。具体地说，有一个集合  

▽2ψ=gμνψμν ,          

其中ψμν（在爱因斯坦那里称之为“ψ-曲率的张量”）是协变导数，然后他寻求一个“单位”矢量Aμ

                    gμνAμAν=1                

那将给出ψμνAμAν ≡ψA 一个极值。

这是曲面的微分几何的法曲率。类似方程gμνAμAν=1的厄米二次形式通过本征值问题

   (ψμν-λgμν)Aν=0 的解的那些矢量Aμ给出极值。

以这些Aμ和它们的本征值λ(α)的术语，爱因斯坦能够给出一个表述，以一个给定的ψ术语唯一地指定μ。（这个诀窍的细节，我们在这里不必关注）

玻特的反对意见的实质是，诸如波函数积ψ=ψ1ψ2 的（协变）导数ψμν是非零的，其中μ是指涉第一个子系统的下标，ν是指涉第二个子系统的下标。这就是为什么复合系统的运动不是子系统运动的简单组合，如同爱因斯坦在物理领域上对它们所作的要求。

爱因斯坦的非欧线元轨道理论，其实是要把赫兹在《力学原理》中把“最小作用原理”转换为“最小曲率原理”的设想，贯彻到量子力学中。Darrin W.Belousek在1996年《现代物理学的历史与哲学研究》的论文《爱因斯坦1927年未发表的隐变量理论：它的背景，内容和意义》中指出：“赫兹清楚地认识到，质点体系力学和多维空间曲面几何的形式类比支撑着他的方法。而爱因斯坦也了解这个类比，因为这明显是采用曲面的黎曼理论和微分几何方法来定义局域正交坐标系的方法。而方法自然从引入多维位形空间的非欧度规得到。但是，爱因斯坦首先是从薛定谔的论文中熟悉这一方法，抑或已经从赫兹的力学中熟悉这一方法，我不得而知。”[10,p444]

“对于一个处于定态的系统，‘ψ曲率张量’ψμν决定了在n维位形空间上每一点的曲面上n个互相正交的主方向{λ(a) },而动能张量（以ψμν术语表达）为那些方向上的每一个决定了一个速度分量，它们的总和或矢量和是系统速度。因此，对于n维位形空间中的每一点，ψ决定了在那个点上沿着曲面的唯一速度。现在，在这个位形空间中的曲面是ψ波函数的恒相位面（S=常数），ψ=ReiS 。……常S曲面可以解释为ψ函数沿着位形空间按照薛定谔波动方程传播的‘波前’”[10,p444-445]。

“如果ψ不能做实在论解释，那么框架最多能提供在位形空间中计算轨道的一个诀窍。如果ψ能做实在论解释，那么此框架就能提供一个物理图像，其中系统沿着这些轨道的运动，是以因果的方式来决定的。这里，人们能够把常S的曲面，解释为ψ函数的波前，作为‘指引’粒子运动的‘导波’，由沿着那些曲面的位形点代表，而它们通过位形空间的传播，是根据薛定谔方程。而且，ψ的这样一种解释，将要求在n维相空间中真实波的传播，并附加上代表粒子体系状态的位形点。”[10,p445]

“当然，……薛定谔方程为N个粒子的体系指定一个在3N维位形空间中的波，而非3维空间中的N个波场。……这与爱因斯坦在他的矢量场思想所展望的相反。……实际上，爱因斯坦在1926年6月22日给洛伦兹的信中，已经表达了这样一个希望：‘如果人们能够成功地[把波函数]放在4维空间中，那么将是令人满意的。”[10,p451]

“但是，爱因斯坦并不是特别接受首先由德布罗意在1927年首先发展起来的，后来在1952年由玻姆作了协调一致地阐述的运动的量子力学理论的波-粒综合。……‘手稿’的框架失败，在爱因斯坦的思想中产生了对量子力学的波-粒综合的可能性的全盘怀疑论，决定了他或多或少地乐观支持德布罗意的理论，直率地拒斥了玻姆的理论。”[10,p453]在生命的弥留之际，爱因斯坦重申在量子力学中，波-粒综合是不可能的，在给H.S.Joachin的信中，他写道：“连续-不连续，对我来说是一个真正的选择，即这里没有妥协。”[10,p456]

“应当指出的是，在爱因斯坦的‘手稿’框架和玻姆的理论中，有两个显著的平行性。首先，在爱因斯坦的动能表述L和玻姆的量子势U的表述上，形式相似。如果我们给出ψ=ReiS/ћ,那么爱因斯坦的表述式是L=K+U,……不足为奇的是，二者还有动力学上的相似性。在‘手稿’中，动能L=K+U,其中K只是特例下的经典动能(1/2m)(▽S)2，而ψ是实的（▽S=0）,我们有L=U。……因此，手稿中的动能L在玻姆理论中，扮演着量子势U的类似动力学角色。”[10,p457]

“爱因斯坦相信，没有任何尝试能在量子力学的理论框架中，完成个体系统的量子力学描述，即通过ψ函数与经典定义变量附加上统计描述，就能产生一个完备的运动理论。而这正是玻姆在其理论中使用定域在物理空间上的粒子位置，成功地完成的。当然，这也正是爱因斯坦试图在‘手稿’中（不成功地）使用定义在位形空间上的主方向所做的。”[10,p459]

Peter Holland在《物理学基础》第35卷（2005年4月）发表了“爱因斯坦1927年的隐变量解释错在何处？”的论文中指出，“我们发现爱因斯坦所反对的特征是——在（多体）波函数因子化的时候，粒子运动出现相互依赖性。实际上，消除这个‘缺陷’的一个方法，已经被Grommer建议，正如爱因斯坦在文本在提到的那样”[11,p178]；“爱因斯坦的理论（和以后的两个修正版本）是有缺陷的，但理由不是爱因斯坦（或以后的评论者）所讨论的；它的真正缺陷必须涉及理论的应用领域，以及它有关的经验预测。”[11,p178]

爱因斯坦在1927年论文中，企图把用3N维位形空间广义坐标作为隐变量，来唯一地决定广义速度，但这样得到的速度方向经常是相反的一对，具有未定性。爱因斯坦把广义速度的方向不确定性与粒子波动的准周期性联系起来，结果是量子力学的非欧线元表述在实现决定论理想上大打折扣。爱因斯坦并不审查多体波动力学表达独立性的能力——它那样做时使用积态；他也不考虑量子纠缠态，这是后来在EPR论文中暗示，并由薛定谔明确指出的ψ非积量子态，其中涉及不可分离性，非定域性和纠缠。Grommer对爱因斯坦的波函数非欧线元表述做了某些调整后，可以保证两个组合体系的波函数之积正好是整个体系的波函数。

爱因斯坦的原始理论和Grommer建议的缺陷，陷入了两个相互联系的范畴：态的极限区域和理论中所应用的位形空间领域；以及它们在重现量子力学的经验成功方面的失败。根据爱因斯坦的非欧线元轨道理论，我们计算粒子运动的速度，经常得出错误的本征速度。

Peter Holland指出：“爱因斯坦把他的构造看成是与经典力学的Hamiton-Jacobi方程相联系的运动定律的薛定谔方程类似的东西（这可以给我们一条线索，他把波函数和经典的Hamilton-Jacobi函数不可约简地定义在位形空间中）。”[10,p188]但是，Jacobi的粒子方程是从与牛顿力学相容的特定动力学变换中唯一地导出的，而爱因斯坦所构造的类似物是从完全特设的动能定义K=-( ħ2/2m)▽2ψ/ψ==mv2=mgμνμ ν中得到的，只适用于量子力学的一个特例，并且附加的坐标在说明测量结果时没有任何用处。而在de Broglie-Bohm的隐变量路线中，爱因斯坦视为动能的量，被玻姆看成了量子势，从而能够得出粒子运动速度的本征值与量子力学的预言一致。因此，爱因斯坦非欧线元理论的物理意义是模糊的，它甚至包含一些虚的速度分量，这也适用于按照Grommer建议修改的爱因斯坦思想的其他两个修正版本。

Peter Holland发现，我们能够构造一个Einstein型的粒子耦合理论，同时确保与量子力学经验预测的相容性。这个理论与爱因斯坦非欧线元理论共享的一个基本特征是粒子的前后关系总是相关于运动，它把耦合隐藏在与归一化过程有关的对角变量求平均的过程中，从而恢复通常的因子化量子概率，以及隐含的本征速度。这个隐变量理论的一个特征是：因子化只表达系统1和它的环境的统计独立性。在这种情况下，粒子1在隐变量水平的完全物理说明，涉及宇宙其余部分的隐变量的位形。这意味着，在我们能够计算单个粒子的运动之前，有必要详细说明宇宙中所有粒子的位形，这就成了实践中难以操作而非理论的逻辑相容性问题了。所以，即使在积态中，两个粒子的非欧线元在位形空间中的相互依赖性也是存在的，这是与量子纠缠，非定域性不同的隐变量的关联。

因此，爱因斯坦的轨道理论，包括Grommer建议下出现的两个变种，“只能应用于波函数的一组限定集合，并针对那些位形空间的受限制区域的每一个，这些理论不能再现位置测量的量子力学统计结果。爱因斯坦拒绝他的理论，并非基于这些理由，而是波函数的因子化不能转译为作用于粒子的力的分解”[11,p194]。“关键点是，一个多体量子体系的轨道是相关的，并非因为粒子相互之间对对方施加了一个直接的力（例如库仑力），而是因为它们全部被潜存于它们背后的一个事件施加影响——数学上由它们的波函数来描述。虽然波是所有粒子坐标的函数，但它不是由它们产生的。这个作用的整体概念，在经典范式中不存在，或者是不可期望的”。“所以，在可分解的哈密顿量和因子化波函数的特殊情况下，我们不能求助于经典直觉，并推导出粒子在所有这些理论中将显示独立行为（de Broglie-Bohm路线是具有这种性质的理论的一个例子）。”[11,p194]

从爱因斯坦非欧线元隐变量理论中，我们可以得出对量子曲率解释研究这样的启发：（1）爱因斯坦的非欧线元与玻姆的量子势理论，都是建立在牛顿绝对时空的位形空间变种以及质点模型的牛顿主义基础上的，这是赵国求在反对哥本哈根解释时一贯批判的立场。（2）爱因斯坦采用非欧线元表述时，突出了位形空间的多维性，这是量子曲率解释在初期探索时不够重视的大问题，值得深入研究，尽管爱因斯坦自己也希望贯彻4维时空的量子描述。（3）康普顿物质波在王国文那里采取了5维时空的额外维形态，在李淮江的量子场论研究中，具体到粒子本动参照系，这是量子曲率解释的理论起点，5维时空描述对于量子曲率解释的进一步发展来说，犹如闵可夫斯基4维时空对相对论的新数学表述。（4）为了与量子力学的经验预测一致，量子曲率解释可以暂时采取一些非定域的数学物理表述，来深化对量子纠缠与量子退相干等测量机制的研究；但从长远来看，一旦康普顿物质波的普遍方程建立起来，各种非定域现象有可能得到某些定域化模型的理解。（5）量子曲率的数学表述在类似彭罗斯的复数黎曼球的数学表述研究上有了可喜进展，假如最后能用类似爱因斯坦非欧线元的方式来表述，那么发展前景会更好。（6）爱因斯坦的非欧线元理论，其实是给出量子波前行进路径的某些曲率特征，符合的是经典力学中的最小曲率原理（赫兹的《力学原理》），而量子曲率是与量子波包的波长带来的弯曲分量密切相关的，两者有很大相关性，但不是一回事。

[参考文献]

1. 杜布洛文 诺维克夫 福明柯：《现代几何学：方法与应用（第一卷）》，许明 译，高等教育出版社，2006年9月第1版。

2.刘克峰 季理真：《丘成桐的数学人生》，浙江大学出版社，2006年6月第1版，第118-119页。

3. 吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》,社会科学文献出版社，1996年2月第1版。

4. 桂起权 高策 等：《规范场的哲学探究》，科学出版社，2008年5月第1版。

5. 薛定谔：《薛定谔讲演录》，胡新和 范岱年 译，北京大学出版社，2007年10月第1版。

6. 勒内•托姆（Rene Thom）：《结构稳定性与形态发生学》，赵松年 译，四川教育出版社，1992年9月第1版。

7. 赵国求：《从相互作用实在到量子力学曲率解释》,武汉出版社，2008年11月第1版。

8. 万小龙：《范弗拉森的量子力学哲学研究》,中山大学出版社，2006年1月第1版。

9. James T.Cushing, Quantum Mechanics: Historical Contingency and the Copenhagen Hegemony, The University of Chicago Press, 1994: 139-140.

10.Darvin W.Belousek, Einstein’s 1927 Unpulished Hidden-Variable Theory: Its Background, Context and Significance. Studies in History and Philosophy of Modern Physics.

11.Peter Holland, What’s Wrong with Einstein’s 1927 Hidden-Variable Interpretation of quantum Mechanics? Foundation of Physics,Vol35,No.February 2005.

Quantum Curvature Interpretation and Einstein’s 1927 Unpublished Hidden-Variable Theory

Wu Xinzhong

               Shanghai Jiaotong University

Absract: Along with introducing space-time curvature concept into general relativity, curvature concept became more important , gauge field theory regards field intensity as curvature of fibre bundles.  Curvature concept in quantum mechanics germinated from original derivation of Schrodinger equation, catastrophe scientist Rene Thom advanced curvature interpretations of ψ function and entropy according to differential geometry.  Zhao Guoqiu advanced curvature interpretation of quantum mechanics, this new interpretation made relativity theory and quantum mechanics more harmonious, regarded ψ function as a curvature function, and helped us to understand  quantum gauge field  theory in train of thought as general relativity .

Keywords:  gauge theory , quantum curvature, Higgs mechanism

吴新忠.pdf