（发表于《自然辩证法研究》2019年第1期）

             马赫原理与旋转的相对性

[摘要] 马赫对牛顿旋转水桶实验的经验主义与现象主义分析，对于破除牛顿与康德求助于绝对空间来定义惯性系的先验论证，是爱因斯坦创立广义相对论的哲学动机。但是，马赫的论证立足于与场论以及相对论不相容的超距作用，因而成为荒谬的物理构想。而光的传播需要时间，意味着遥远物体与星辰的视位置与通过光信号对时确定的物理位置是不一致的，马赫原理无法论证旋转的相对性。爱丁顿认为，尽管在广义相对论中，时空是相对的，但是旋转运动涉及到物体不同位置之间的相对速度与相对加速度，因而改变了物体的能量-动量分布，从而产生了偏离惯性结构的绝对运动。

[关键词] 马赫原理  旋转的相对性  广义相对论

           一、马赫原理是否证明了旋转的相对性？

   伽利略的相对性原理，在牛顿力学中被表述为：“力学现象不容许在不同的匀速（即非加速）运动状态之间有绝对的区别”[1,p215]。在牛顿看来，伽利略无法确定静止参照系是相对于什么空间的，在《托勒密与哥白尼两大科学体系的对话》中，他认为设想太阳在空间中静止，比设想地球在空间中静止，能够更合理地描述天球上的天体运动。另外，伽利略把匀速圆周运动与匀速直线运动，都看作无外力作用的自发惯性运动，而在牛顿看来，圆周运动不同于匀速直线运动，伴随着向心力与离心运动倾向的出现。

    在牛顿看来，“绝对静止或绝对运动是相对于绝对空间定义的：如果在相等的绝对时间内发生相等的位移，这样的运动就是匀速的。”1885年，朗格（Ludwig Lange）引进了现在所谓的惯性系——“没有加速的‘匀速向前运动……的空间’”[1,p216]。惯性系就是相对于绝对空间静止或匀速运动的一组参考系，两个惯性系之间具有反演对称的相对速度：如果惯性系A以速度V相对于惯性系B匀速运动，则惯性系B以速度-V相对于惯性系A匀速运动。

     因为牛顿在不能直接观测的“绝对量”，和对空间、时间和运动的或多或少可以直接进行的“相对测量”之间作出了区分，结果牛顿式的“相对性原理同时既假定了一个享有特权的（绝对）参考系的存在，又否认了观察到它的可能性”[1,p216]。牛顿通过简单地设定作为“世界系统”的太阳系是唯一享有绝对空间的特权：“绝对空间就是太阳系的质心在其中静止的惯性系”[1,p216]。但是，牛顿对绝对空间的这个人为约定，自然随着天体力学中“世界系统”或“宇宙体系”的扩大而改变，比如设想银河系质心静止系，总星系质心静止系才是真正的绝对空间，而牛顿原来设想的太阳系绝对空间不过是近似有效的相对空间。

   马赫在《力学史评》（1883）中，批评了牛顿对惯性系的理解，因为这是“以空间和时间自身的绝对性和不可观察性质为基础的”[2,p94]。马赫重新考察了牛顿用来显示绝对转动与相对转动差别的旋转水桶实验，把水桶旋转产生离心力引起水面变弯，不再像牛顿那样理解为水桶围绕绝对空间转动导致离心力出现；而是认为水桶环绕遥远的恒星转动，等价于水桶保持静止，周围的物体包括无数遥远的恒星围绕水桶旋转，它们对水面的总引力失去平衡后产生水面变弯的离心效应。从此以后，“在对牛顿的批判及马赫思想的陈述中，一直特别强调所谓旋转的相对性原理，即不可能存在绝对的旋转，而只有相对于物质的旋转”[2,p299]。

   爱因斯坦在《广义相对论基础》（1916）中，把隐含在经典力学与狭义相对论中的牛顿惯性系概念，看成是马赫指出的“固有的认识论上的缺点”[3,p280]。爱因斯坦设想在空间中自由飘荡着两个同样大小和性质的流质球体，“当这二物体中的任何一个——从对另一物体相对静止的观察者来判断——以恒定的角速度绕着两者的连线在转动（这是一种可以验证的两个物体的相对运动）。现在让我们设想，借助于一些（相对静止的）量杆来测定这两个物体（S1和S2）的表面；结果是S1的表面是球面，而S2的表面是回转椭球面。”[3,p280] 爱因斯坦认为牛顿的绝对空间“不过是一种纯虚构的原因，而不是可被观察的事实。”[3,p281]，应该追随马赫的旋转相对性思路，承认“远处的物体（以及它们对所考察物体的相对运动），就被看成是我们所考察的这两个物体S1和S2有不同性状的原因存在，并且是原则上可被观察的”[3,p281]。

    正如曹天予指出的那样：“毫无疑问，马赫的思想鼓舞并激励着爱因斯坦对于广义相对论的工作”[4,p99]，“但是，马赫的因果相互作用思想，是建立在瞬时超距作用的假设之上的”[4,p97]。让我们来设想一下，假如地球没有自转与公转，在地球上任何一点看到的遥远恒星点缀的天球将是不动的，太阳将高悬在天空中不动，而我们只能观察到月亮环绕地球的旋转。这样一个静止的地球，就成了马赫所设想的相对于遥远星辰静止或均匀低速移动的惯性系。在马赫看来，这样一个静止的水桶只受到地球引力作用，而遥远星辰对水面的万有引力全部抵消平衡，导致水面平坦。当水桶开始旋转，桶壁带动水进入旋转，尽管桶壁与边缘的水没有相对旋转，但“水的上升表明它有离开转动轴的倾向”[5,p10]，牛顿认为，“这种倾向说明水的真实的转动正逐渐加快，直到它获得最大量，这时水相对于容器静止”[5,p10]。而马赫认为：“牛顿的旋转水桶实验只是告诉我们，水相对于桶壁的旋转不会产生任何显著的离心力，这种力只是相对于地球与其他天体的质量的相对旋转产生的”[4,p96]。爱因斯坦根据马赫的思路认为，牛顿所谓的真实转动，可以视为水桶一直保持静止，而遥远的星辰开始以相反的角速度绕水桶旋转，于是遥远的星辰对水面的万有引力不再抵消，而呈现为导致水面上升的离心力以及水面旋转速度变化的科里奥利力，加速系中的惯性力起源于遥远天体施加于相对加速物体的万有引力失去平衡，发生了变化。爱因斯坦没有深究旋转的相对性，而在马赫原理启发下，依据等效原理得出惯性起源于引力的结论。

    但是，马赫的论证忽略了天文学在观察中建立起来，并在电磁场论与相对论中得到贯彻的核心原理：光的传播是需要时间的，而任何一种相互作用的过程都不会超越光速。当一个静止在无公转和自转的地球上的水桶开始旋转时，位在转轴的观察者是看到所有不同距离的物体与星辰同时以相反的角速度开始绕自己旋转的。但是，处在旋转水桶的转轴上的观察者，看见的应该是周围物体与遥远星星的视位置以相反角速度绕自己旋转，而所有物体与星星到达观察者的光所经历的时间，在忽略空气、星际物质与天体引力场的各种折射效应后，是与它们离水桶的距离成正比的。这就意味着，按照马赫的理解，水桶开始旋转的一瞬间，8分钟前的太阳，4年前的比邻星，16年前的织女星，等等，老早应该以正比于离水桶距离的时刻，提前开始绕水桶反向旋转了，而足够遥远的物体与星星应该是超光速反向旋转的。所以，马赫对牛顿旋转水桶的思想实验的重新理解，在近距作用的意义上是被场论与相对论禁止的荒谬物理构想；即使我们承认瞬时超距作用与物体超光速运动的可能性，旋转水桶上观察者所看见的周围物体与遥远星星的视位置的反向旋转，在考虑到光的传播需要时间后，我们会发现周围物体与遥远星星只有在正比于离开水桶距离的不同时刻提前反向旋转，才能与旋转水桶上的观察者所看见的现象一致，这样马赫有关旋转相对性的论证就完全失败。

   其实，在牛顿的旋转水桶实验中，水面上升离开转动轴的倾向，可以求助于桶壁带动水旋转时，桶壁对水施加了改变其匀速直线运动趋势后的压力而产生的反作用力来理解，求助于绝对空间对水面的作用是没有必要的，正如马赫已经论证的那样：“牛顿绝对空间概念超越了经验范围，具有不合常规的因果作用：绝对空间影响质量，但没有什么东西能够影响绝对空间”[4,p96]。马赫利用遥远恒星所在的静止天球来定义惯性系，无疑比牛顿以及后来的康德用绝对空间定义惯性系的先验论证，更符合经验主义与现象主义。但是，在牛顿力学的框架中，马赫既不能论证遥远的星空为什么能成为惯性系，更无法重新理解牛顿的旋转水桶实验来论证旋转的相对性。

         二、爱因斯坦的转动圆盘实验与旋转的相对性

    爱因斯坦在1912年首次提出转动圆盘实验，是加速系中引入非欧几何的一个依据。在《广义相对论基础》（1916）中，爱因斯坦设想：“在一个没有引力场的空间里，我们引进一个伽利略参照系K(x,y,z,t)，此外又引进一个对K作相对均匀转动的坐标系K’(x’,y’,z’,t’)。设这两个[参照系]的原点以及它们的Z轴都永远重复在一起。”[3,p283] 爱因斯坦指出，用静止于K系中的量杆来度量一个X-Y平面上绕着原点的圆的周长与直径，我们自然得到圆周率π。这个圆由于对称性，在K’系看来，仍然是一个圆，直径因为垂直于转动方向而不变，但是量度周长的量杆因为处在转动造成的切向运动中，而发生了洛伦兹收缩，结果得到的周长变大了，K’系中的圆周率将大于π。转动圆盘不仅伴随着空间的欧几里得几何的失效，还出现了时间的度量性质变化：K’系的转动圆盘周长的一点处的时钟，在K系看来，“要比原点上的钟走得慢些，因为前一只钟在运动，后一只钟则不动。”[3,p284] 

    不难发现，爱因斯坦的转动圆盘是刚性系，同时又是个非超曲面正交系：“转盘上的每个观者都觉得周围观者绕自己转动”[6,p434]。实证主义哲学家J.Petzoldt在1919年7月26日，写信给爱因斯坦，质疑转动圆盘圆周率变大的问题。爱因斯坦回信指出他的错误，同时说明了转盘实验的高度理想性：“考虑到转盘切向长度的洛伦兹收缩和径向长度的不收缩，刚性转盘从静止变为转动就必须先行破碎，类似地，作为上述长度改变的逆过程的后果，要使得转动着的刚性圆盘（靠浇铸而成）变为静止，它就必须爆裂。”[6,p432] 

这里我们发现，爱因斯坦的转动圆盘实验是一个纯数学的理想实验论证，并没有对应的物理过程与机制。在忽略地球公转，只考虑地球自转的时候，地球上的任何一点的静止观察者，都相当于转动圆盘上的一个观察者，其中北极与南极相当于转盘的圆心，而地球上各点离地球自转轴的距离，分别相当于爱因斯坦转盘上各个圆周的半径。当我们看到日月星辰仿佛随着天球，环绕地球中心转动时，好像与“转盘上的每个观者都觉得周围观者绕自己转动”[6,p434] 是等价的，但其实不是这样。我们发现，一旦否定了马赫原理的超距作用机制，那么转动圆盘上各点的时钟，在圆心处的观者看来，不仅存在以不同速度转动引起的不同时间节奏的差别；而且由于各点离圆心距离不同，处在K系上的各点同时的转动刚体圆盘，在K’系看来，各点是以离圆心的距离不同，从近到远，按照正比于半径除以光速的时间滞后，依次进入角速度相等的转动状态的。这与忽略地球公转与日月星辰的自行，只考虑地球自转时，我们看到日月星辰无论远近，都以相等的角速度环绕地心旋转的景观是完全不同的。

   既然马赫原理与爱因斯坦转盘实验都证明不了旋转的相对性，那么科学界长期流行的一个误解，也就是哥白尼日心说与托勒密地心说在广义相对论中可以给出等价数学物理描述的说法，就是毫无根据的。勒纳德曾经根据这种误解，在1922年向爱因斯坦提出地心说的广义相对论描述中，遥远天体在天球上移动速度不断增大而超越光速的问题。爱因斯坦没有深究这个问题的复杂性，简单地宣称广义相对论中的光速是可变的，给这个基于误解而提出的问题，在没有任何严格的数学物理论证的情况下，给出了一个似是而非的答案。其实，在广义相对论中，固有速度是采用运动物体所在的随动参照系的局域时间来定义的，是不可能超越真空光速的，它们的世界线都处在光锥以内的类时区域；而坐标速度与坐标光速是可以通过坐标的广义协变而变化的，它们超越真空光速在一定的坐标变换中是允许的，但它们的世界线不违背因果时序。在地心体系中，用宇宙中心地球的时间，来度量天体在天球上移动的距离，得到的速度显然不是天体移动的固有速度。

   另外，即使没有爱因斯坦的转盘实验，让我们设想一个足够大的平面，在没有引力场与具有垂直于平面的均匀引力场时，平面上各点发出的光，到达观察者的路径不同，也可以说明：即使是均匀的牛顿引力场，也可以引起空间的弯曲。站在平面上的竖立观察者，在没有引力场时，平面上各点是沿着直线到达观察者的；而一旦出现均匀引力场，平面上各点发出的光，在不考虑光的传播的相对论效应时，将沿着抛物线到达观察者。而观察者将沿着抛物线光路在眼球附近的切线方向延伸其视线，把平面上的点投射到一个边缘向上翘曲的视像面上。均匀引力场扭曲了平面的视像，就是引力场等价于空间弯曲的经验证据。所以，即使不求助爱因斯坦转盘实验与等效原理，在引力理论的研究中引入弯曲时空概念，也是有根据的。

    让我们再深入讨论一下转动圆盘上的不同观察者，来看看旋转的相对性在广义相对论中应该如何理解。一个观察者，除需要标准钟外，还配备一个3维标架：“3标架是由三根单位长的短直杆焊成的、两两正交的架子，每根直杆代表一个观测方向，它们在每一时刻的指向由该观者选定。”[7,p121] 如果再加入观察者世界线上的单位时间矢量，就能得到一个4维的正交归一标架场。在闵氏时空中，“惯性观者是作惯性运动的无自转观者”[7,p121]。在K系看来，静止在圆心上的观者属于无自转观者，是惯性观者；而K’系中底座固定在圆心上的观者是随着转盘一起旋转的自转观者。我们可以用“3标架场的空间转动角速度ωa”[7,152]，来“描写观者自身的转动”[7,152]。

    轨道运动的离心力和自转引起的科里奥利力，在牛顿理论中都被称之为惯性力。在广义相对论中，“为了突出观者轨道运动和自转运动的差别”[7,p156]，一些学者“把观者因轨道运动和自转引起的假想力分别叫做惯性力和科氏力”[7,p156]。在转动圆盘中，底座固定在盘上的“观者因圆盘转动造成的圆周运动（轨道运动的特例）同观者利用转椅实现的标架转动分别称为公转和自转。这同把地球绕日的圆周运动（这时地球视为质点）称为公转而把地球（这时视为刚体）绕地轴的转动称为自转的做法有些类似。”[7,p155]

在K系圆心处的惯性观者看来，爱因斯坦的转动圆盘不像牛顿力学中的转动坐标系可以随着半径增大而无限制地延伸，转盘边缘的线速度被光的极限速度所制约。达到与超越光速的转盘边缘即使在理论上设想出来，也会因为离心力趋向于无穷大而出现转盘边缘的光无法到达圆心的视界效应，这与黑洞视界处的光无法看到是类似的。

   而在K’系圆心处的自转观者看到的视像是，爱因斯坦转盘的各点以离圆心的距离不同，从近到远，按照正比于半径除以光速的时间滞后，依次进入角速度相等的转动状态的，也就是依次看见一系列似乎不动的视像。一开始，远处各点的线速度远小于光速，时间随距离的正比例滞后没有发生洛伦兹放大；当边缘上各点的线速度接近光速时，它们进入转动的时间滞后被洛伦兹延缓效应放大，而不再是随距离正比例滞后，边缘各点到圆心的时间是连接它们的类光矢量世界线的长度，因为转动着的周长各点发生光行差效应，它们到达圆心的光路不再是沿着半径而成为曲线；转盘边缘处似乎出现以光速反向旋转而不断变红变暗的视像。这与我们在牛顿力学的超距作用框架中，看见整个圆盘从圆心到不断延伸的边缘，几乎都因为一起转动而看起来不动的景象是不一致的。牛顿力学中坐标系的旋转变换，在相对论中成了只有数学意义而在物理上限制在线速度低于光速的区域，达到或超越光速就陷入荒谬的理论虚构。

    在K’系距离圆心为r的某一点，此处的转动线速度必须低于光速，我们可以设想两类特殊的转动观者。一类就是底座固定在转盘上，类似于旋转木马上永远朝着转动切向的观者，他们看见的周围物体与遥远星辰，似乎是绕着转盘圆心以相反的角速度-ωa(1-rωa)1/2在旋转的；这里的洛伦兹因子采用自然单位制，既可以看作是转盘在任一时刻的切向周长发生洛伦兹收缩引起相对角速度变化，也可以视为由于转盘周长处的时钟发生延缓，导致相对角速度的变化。另一类就是随着圆盘转动但朝向转盘外面某一个方向的观者，相当于旋转木马上随动的一个指南针。对于这类定向的转动观者来说，周围物体与遥远星辰似乎是绕着转盘圆心以相反的线速度整体转动的，这是一个原点位于转盘周长处某点的随动K”系，但这个定向标架的坐标轴x”,y”,z”与K系中的坐标轴x,y,z保持平行。在广义相对论中，旋转的相对性也许只能以定向的转动观者的立场来理解，才能得到物理上有意义的解释，而不出现转动线速度达到与超越光速的荒谬结果。这样一种受到观者运动状态严格限定的旋转相对性，充其量不过是任一时刻沿着转盘的线速度作反向相对运动的一系列参考系的整合效应。爱因斯坦在《广义相对论基础》中，有一个把旋转相对性作为广义相对论的理论建构的逻辑起点的宏伟目标，但广义相对论在实现这一旋转相对性的宏伟目标时，却大打折扣。

   这也意味着，不论爱因斯坦的局部惯性系概念，与牛顿立足于绝对空间的惯性系概念相比，发生了多么巨大的概念变异；但因为惯性观者的概念“对理解等效原理和局部惯性系有重要作用”[7,p152]，它对牛顿惯性系的逻辑依赖是无法排除的，“爱因斯坦电梯内的观者不但是自由下落的，而且应是无自转的”[7,p147]。因此，在坚持爱因斯坦的相对时空的前提下，改进牛顿的绝对运动概念使之符合于广义相对论的框架，就变得非常重要。

    爱因斯坦认为，在广义相对论中，不论出现什么样的运动，人为选择与自由变换坐标总是可能的，因此时空必定是相对的，而不是绝对的。但是，时空的相对性未必导致绝对运动不存在：“只要任何一种物质运动相对于内在的时空惯性结构具有加速或旋转运动，这种运动就具有绝对性。在物体加速或转动时，时空惯性结构出现速度或角速度的依赖性，惯性结构本身只能相对地确定。采用这种观点理解爱因斯坦提到的虚空中互相旋转的两个球的问题，我们认为球的转动具有绝对性，因为旋转球的各位置之间相对于时空惯性结构而言，具有不可消除的速度差，而没有转动的球是在时空惯性结构中保持各位置等速度的”[8,318]。爱丁顿认为，在广义相对论中，旋转运动涉及到物体不同位置之间的相对速度与相对加速度，因而改变了物体的能量-动量分布，从而产生了偏离惯性结构的绝对运动。

            三、相对论与牛顿惯性系可能存在的依据

    马赫批评牛顿的绝对时空观，“相当于指出了作为数学结构（绝对空间）近似实在化的一个物质系统（遥远星体）”[2,195]。在爱因斯坦的影响下，马赫原理“表达了这样一种见识，即局部惯性系相对于远距星体是近似无旋转的” [2,196]。一个沿着惯性-引力场的场力线方向自由下落的无自转观者的4-标架场，就构成一个所谓的局部惯性域。

   目前对银河系质量对我们附近的质量产生的马赫效应的天文观测结果，大大低于马赫原理的理论预测。这“暗示着马赫原理既不是广义相对论的必要预设，也不是广义相对论的逻辑结果”[4,p103]。正如伯格曼指出的那样：“在马赫那个时代，假定平直的三加一维宇宙中遥远的星系的运动和位置是可观察量，力学的一般定律应该依据全部质量之间的相互作用来表示，这是明智的。如果这个计划是成功的，那么消除先验的惯性系的观念，就又前进了一步。”[2,p96] 但是，“真空场具有任何质量源的运动无关的自由度”[2,p96]，根据广义相对论，“引力的度规场能控制浸没于其中的物质物体，而反之则不然”[2,p96]。马赫没有考虑场论与空间的绝对-相对性的关系，在场论中，除了作为场方程的局域偏微分方程，还要给场加上边界条件。在场论中，类似牛顿惯性系的角色是由场的边界条件提供的。但在爱因斯坦的理论中，讨论旋转的相对性，面临找不到相互旋转运动的边界体系的精确解的数学困难：“除了平直时空之类的边界条件外，对于一个唯一的物体不会找到相对其旋转的物质。”[2,p199]

    爱因斯坦在1916年10月末给贝索的信中，认为边界条件的任何详细规定，是与局域化的广义相对论不相容的。这正如德西特指出的那样：“普适的闵可夫斯基边界条件是与广义相对论的精神相冲突的，因为它不是广义协变的；而各种引力势必然约化为闵可夫斯基值的思想，是绝对空间的伪装版本的一个部分。”[4,p101]“其次，遥远质量被设想为有别于绝对空间，而绝对空间是原则上独立于参考系并且是不可观测的。但是，正如绝对空间一样，遥远质量也是原则上独立于参考系，并且是不可观测的：为了起决定无限远处引力势的作用，这些质量必须被设想为超越任何有效的观测。”[4,p101-102]

    于是，按照马赫的经验主义与现象主义，我们应该根据遥远恒星所在的静止天球，也就是无限远处的引力势来定义惯性系。另一方面，马赫原理的物理内涵未必与广义相对论一致，我们就需要从相对论的角度考察牛顿惯性系存在的可能性。

[参考文献]

[1][美]Laurie M Brown, Abraham Pais,[英] Brian Pippard爵士 编： 《20世纪物理学》（第1卷），刘寄星 主译，科学出版社，2014年3月第1版。

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[3]《爱因斯坦文集》（第二卷），范岱年 赵中立 许良英 编译，商务印书馆，1977年3月第1版。

[4] 曹天予：《20世纪场论的概念发展》，吴新忠 李宏芳 李继堂 译，上海科技教育出版社，2008年12月第1版。

[5][英]伊萨克•牛顿：《自然哲学之数学原理•宇宙体系》，王克迪 译，袁江洋 校，武汉出版社，1992年5月第1版。

[6]梁灿彬：《微分几何入门与广义相对论》（下册），北京师范大学出版社，2001年12月第1版。

[7]梁灿彬：《微分几何入门与广义相对论》（上册），北京师范大学出版社，2001年12月第1版。

[8]桂起权 吴新忠：《相对论的历史与哲学》，载于《淮阴师范学院学报》（28卷），2006年第3期。