第九章 线性时不变系统

9.1 非线性制约

  网上有个关于自然数之和等于负十二分之一的视频，证明过程如下：

令：S=1+2+3+4+5+6+……；

      S1=1-1+1-1+1-1+……；

      1-S1=1-1+1-1+1-1+……=S1；

于是：S1=1/2；

再令：S2=1-2+3-4+5-6+7-……；

         2S2=（1-2+3-4+5-6+7-……）+（0+1-2+3-4+5-6+7-……）；

              =1-1+1-1+1-1+……=S1；

于是：S2=S1/2=1/4；

           S-S2=（1+2+3+4+5+6+……）-（1-2+3-4+5-6+7-……）

                   =0+4+0+8+0+12+0+……=4（1+2+3+4+5+6+……）=4S

于是：S=（-1/3）S2=-1/12；

既：

1+2+3+4+5+6+……=-1/12；

    乍一看，很让人疑惑，自然数（正整数）相加证明可能变成分数呢？ 而且还是负数？

    不过数学系学生大概不会被这个胡闹视频迷惑。因为S=1+2+3+4+5+6+……是发散级数，发散级数根本就是不是一个数，也不可能等于某个确定值S，所谓‘发散级数的和’没有意义，等号在这里不具有逻辑推演意义，因而对之进行加减乘除所谓的演算纯属搞笑。

    特别说明，任何一个参照系都无法分析非收敛的系统（比如杂乱无章的噪音）。本文仅研究特征基不完备的参照系对于收敛系统推演的不确定度。本文有关“不完备性定理”和“不确定性原理”的探讨，阐述的是关于收敛系统的逻辑因果。

    那么，对于高阶张量空间而言，什么样的系统是一个收敛系统呢？

   在探讨系统收敛性之前，我们再来看看不收敛的系统会发生什么奇怪的事情。

   以前，印度很多人死于冲突打斗。一位叫达依尔的人，想了个办法来阻止人们相互残杀。他用做了一个64格棋盘作战场；用木头雕刻了32个棋子代表双方战士。这个游戏就是现在众所周知的国际象棋。从此以后, 只要发生争端，大家就到棋盘上解决，败的一方要服从于胜的一方。于是杀戮大大减少。当时的国王很高兴, 打算奖赏达依尔，问他想要什么。

   他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘上的第1个小格里，赏给我一粒麦粒，在第2个小格里给2粒，第3个小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏赐给您的仆人吧！”

   国王觉得这个要求太容易满足了，立即命令给他填这些麦粒。第一格放1粒、第二格放2粒、第三个小格给4粒.......

   我们知道这是一个指数函数，2的n次方：

   第一格棋盘: 2的0次方  = 1

   第二格棋盘: 2的1次方  = 2

   第三格棋盘: 2的2次方  = 4

   ......................

   第十一格棋盘: 2的10次方  = 1024

   放到第十一格，放了2的10次方，也不过1千粒麦粒，一小把而已。国王偷着乐了，这点微末奖励太不值一提了嘛。

   达依尔笑了笑，继续在棋盘格里面放麦粒

   ∶

   第十八格棋盘: 2的17次方 = 131072

   第十九格棋盘: 2的18次方 = 262144

   第二十格棋盘: 2的19次方 = 524288

   ∶

   第四十三格棋盘: 2的42次方 = 4398046511104

   第四十四格棋盘: 2的43次方 = 8796093022208

   第四十五格棋盘: 2的44次方 = 17592186044416

   ∶

   第六十三格棋盘: 2的62次方 = 4611686018427387904

   第六十四格棋盘: 2的63次方 = 9223372036854775808

   总的数量应该是把64格里的麦粒全加在一起:

   1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+…+2的62次方+2的63次方   =   18446744073709551615（粒）

   即184亿亿粒，这是超级超级巨大的数量。国王终于发现，就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了达依尔的要求。根据现在的世界粮食产量估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子！

  这就是所谓的“指数增长”威力。

   1963年，气象学家罗伦兹用了13个方程式仿真地球大气运行，预报天气。他如往常一般在办公室操作气象电脑。平时他只需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微积分方程式，计算出下一刻可能的气象数据，模拟出气象变化图。这一天，为了更细致地考察结果，罗伦兹把一个中间解0.506取出，提高精度到0.506127再送回。当结果出来时，他大吃一惊，因为前后计算结果却偏离了十万八千里。

   再次验算发现计算机并没有毛病，问题出在他输入的数据初始值差了0.000127，而这个细微的差别却造成结果的天壤之别。

   罗伦兹发现，一个微小的初始值会导致微积分方程的演算误差指数形式增长。

   罗伦兹比喻其为“蝴蝶效应”，亚马孙河流热带雨林中的小小蝴蝶拍拍翅膀，可能导致美洲几个月后出现超级龙卷风。这就是混沌学，即“对初始值响应的极端不稳定性”。

   这个发现匪夷所思，以致一开始很多科学家都不理解，几家科学杂志也都拒登他的文章，认为“违背常理”：相近的初值代入确定的方程 ， 结果也应相近才对，怎么能大大远离呢？

   我们从小到大所受的科学教育，基本都是线性系统的。而“线性”意味着量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动，轨迹偏离不会太大。但是，非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。

  值得注意的是，尽管指数增长威力无穷，但对于‘亚马孙河流热带雨林中的小小蝴蝶拍拍翅膀，可能导致美洲几个月后出现超级龙卷风’的所谓蝴蝶效应，每个人直觉都会判断这极其荒谬，因为违背常识。

   一只小小的蝴蝶，怎么可能造成巨大龙卷风呢？现实中这是根本不可能的发生的！

   那么，为什么“蝴蝶效应”计算机会推演出违背常识的结果呢？

   因为罗伦兹所用的13个微积分方程式演算的气象预测模型是是有局限性的、有缺陷的、是不完备的。

  大家都知道，生物的成长过程，就是细胞的分裂过程。细胞由最初的受精卵，一个分裂为两个、两个分裂为四个......随着分裂的进行，细胞指数分裂的增加，生物身体相应长大。

  但是，任何生物身体都不可能无限长大，大象只能长到10吨、野猪只能长到1吨、猩猩只有100斤、猫咪1斤、鲫鱼1两、蚂蚁1克，不同的物种总有固定不变的大小限制。成年以后任何生物都不会继续生长，原因是细胞不会无节制无限制的分裂下去。研究发现，一个正常细胞一般分裂50次左右就会停止分裂。如果一个细胞分裂的模型是2的n次方，则n不趋于无穷大，只能限制为50次。

  也就是说，在现实世界中的指数增长模型是受到环境制约的，并不会如纸上谈兵般的偏颇理论所预测的无限疯长。

　 曾有人做过这样的实验：当人工培养的变形虫快要分裂的时候，把它的细胞质切去一大块，这个变形虫就不再分裂。等它长大起来又要分裂的时候又切去一块，它也不再分裂。但如果让其继续生长，体积达到一定大小时，它又会分裂起来。这表明细胞的表面积与体积之比以及细胞核与细胞质体积之间的平衡：细胞通过它的表面不断地与周围环境或邻近细胞进行物质交换，这么它就必须有足够的表面积，否则它的代谢作用就很难进行。但细胞的体积由于生长而逐渐增大时，表面积与体积的比例就会变得越来越小，物质交换适应不了细胞的需要，这可以引起细胞的分裂，以恢复适宜的比例。同样的，细胞核中的遗传信息指引和控制范围有限，细胞核对太大范围的细胞质的调控作用就会相对减少。

   一个完备的理论，必须充分考虑现实世界存在深刻广泛的多层次多维度复合制约关系。

   比如，根据作用力和反作用力原则，运动速度越大空气阻力会响应增大；

   另比如，根据波粒二象性原则，任何实际的物理量都不可能同时在时域和频域都是有限变量；

   又比如，无论矩阵如何变换，矩阵对角线的元素之和永恒不变；

   再比如，无论频域和时域如何怪异，其对偶空间样本值之和永恒不变。

   天要下雨，娘要嫁人。有些要素是变化的，有些要素永恒不变。最值得一提的是其中某些特征属性不变性。 那么，度量线性（偏线性）系统变量差异不变性的线性时不变系统，能够体现大千世界这种深刻的永恒不变的制约关系吗？

    一大堆海量数据，哪些数据是毫无意义的无用杂音、哪些数据是隐层规律的有效信息，关键找到这里面的收敛子集。那么，如何大数据中发现收敛子集，深度学习人工智能可以从哪些方面入手呢？