6.3 零的秘密

   熟知数学理论的同学一眼就可以看出，前面两节的事例都是关于无穷小量的。

   我们发现，6.2节的无穷小量累加在一起会产生不可容忍的误差，出现谬误。

   而6.1节的无穷小量累加在一起则是收敛的，6.1节的无穷小量（即使是无限多个）累加也相当于零，不对结果产生影响。

   显然，不同的无穷小量可能有不同的性质，需要区别对待。

   特别的，在阿列夫2维度空间中的无穷小量，与阿列夫1维度空间有多大差别呢？

   回过头，我们再来进一步审视阿列夫2维度空间的奥妙。

   上一章，通过量子态阿列夫2维度空间的认识，将为我们提供一条非常广阔的逻辑分析空间。相信有一些朋友也像我一样激动，热血沸腾、信心满满、摩拳擦掌、磨刀霍霍，准备着去迎接一个崭新世纪了。

   不由得又想起百年前希尔伯特那句激动人心名言:“Wir mussen wissen. Wir werden wissen.（我们必须知道，我们必将知道）”

   如果一百年前大师被小崽一招落败是因为轻敌，那么今天我们仍然草率自负就是轻狂了。

   各位，不好意思，下面的结论可能会彻底打碎您最后的防线。因为如果要保证“不完备性定理”、“不确定性原理”、“康托尔连续统理论”的三者是自洽的，必须否定现有的（阿列夫1维度连续实数）数学的绝对化的确定性。

   逆天啊

   一瓢冷水，从头凉到脚，否定数学绝对确定性，某种意义上就是质疑数学的严谨性。质疑数学严谨性可不是闹着玩的，那是对人类量化认知最根本的颠覆。

   我们都知道，自然科学有今天的成就，是因为依附于数学的严谨性。日常普通的语言，不管是汉语、英语或是拉丁语，都存在一词多义、一义多词，都存在语义的模糊性，都存在含义内涵和外延的不确定性。一句同样的话，有时可以这样理解，有人又会那样解读。

   考虑到逻辑依赖于语言，所以语言的不严谨就是逻辑的不严格，语言的模糊性就是逻辑的不确定性。

   唯有数学，科学的女王，为我们提供了严谨、严格、严肃的科学统一语言。任何一篇自然科学的学术文章，如果不以数学语言来叙述，这种论文基本上就是毫无意义的了。

   所以，如果有人质疑数学的严谨，就相当于向全体科学界挑战。敢于有这样的想法，需要不仅仅是勇气。如果以打到一切牛鬼蛇神的勇气破四旧、摔文物、否定历史、否定祖宗，而又没有建设性的方案，那么质疑数学严谨性的动机就难敢苟同了。

   在三次危机以后，数学变得越来越强大、变得不可挑战。但是关于它严谨性的瑕疵仍然不绝于耳，最典型的质疑来自于冲激函数δ，它是单位1的傅立叶变换：

   同时，冲激函数δ的傅立叶变换是单位1 ：

   形象而言，冲激函数δ在阿列夫2维度的赋范空间相当于单位1，其重要性是不言而喻的。

   但是，如此重要的冲激函数δ，其数学定义却是异常怪异的。它的定义是这样的：

   冲激函数的冲击波异常强劲，一方面它让数学界异常窘迫尴尬，数学根本解释不同这是个什么东西；一方面冲激函数的应用取得了巨大成功，甚至可以说如果没有冲激函数就没有量子力学、信号学、傅立叶谱分析。

   最初，哥本哈根学派发现了冲激函数可以解决大量实际问题，不管三七二十一，拿来就用了，慢慢大家发现这个鬼东西是个好东西，你也用他也用，泛滥开来。在这个过程中数学家参与进来，试图按数学一贯的方式对这个函数进行规范化标准化定义，这时数学家才发现δ这个鬼东西根本无法招安。从δ冲激函数的定义可以看出它非常特别、另类、异形。非数学专业的同学一般看不懂，数学专业的同学更加看不懂。因为这个怪胎函数仅在0点一个点有值、这个点值是∞、其积分等于1（积分宽度为0、高度为∞、面积是1）

    翻译成白话文大家就明白了，口水话的解释相当于：

   ‘什么都没得’ ×   ‘无穷大’   ＝    ‘有一个东西’

   数学表达为：

   0 × ∞ ＝ 1

   零乘以无穷大等于1，对于数学系以外的人而言并无不妥，但放在严谨、严格、严肃的数学体系中，它就是扎眼的鬼精灵，令人不安，恐惧。 因为在数学系统中，0 和 1 是确定的数值，而 ∞ 根本不是什么数值。还记得上小学时老师反复告诉过我们1/0是无意义的么，为什么0不能作为分母，估计小学老师也说不出所以然。其实，1/0为什么无意义，是因为 1/0 如果有意义将等于∞，而如果1/0＝∞ ，那么意味着两个“确定的”数的算术运算将等于“不确定”，这在数学逻辑中完全无法解释 。

   两个确定数值运算怎么能和∞这种非确定数值符号相等呢？

   这个该死的诡异的无穷大既不是具体的数据，也不是其它什么可知的实际的具体的东东，它甚至都不能称为“数”。痛苦啊，可怜的数学家，只好掩耳盗铃把鸵鸟头扎在沙子里装憨卖傻。好在1/0的影响目前似乎仅限定于冲激函数δ，数学的乌云仍只在天边徘徊，未到暴风骤雨之时。

  但是，如果“不完备性定理”、“不确定性原理”、“康托尔连续统理论”的三者是自洽的，如果阿列夫0维度初等算术系统、阿列夫1维度傅立叶连续谱分析、阿列夫2维度量子态张量空间存在无可辩驳的区别，那么数学将面临前所未有的巨大危机。因为：

   【

   如果： 0 × ∞ ＝ 1

   那么： 0 ＝ 1 / ∞

   又因为： ∞ 不是唯一的，包含阿列夫ℵ0、阿列夫ℵ1、阿列夫ℵ2 ......

   所以：  0 ＝ 1 / ℵ0

            ＝ 1 / ℵ1

            ＝ 1 / ℵ2

  .............

   由于：‘ℵ0’不等于 ‘ℵ1’ 不等于 ‘ℵ2’ ......

   所以： ‘1/ℵ0’ 不等于 ‘1/ℵ1’ 不等于 ‘1/ℵ2’ ......

   这与上面： 0 ＝ 1/ℵ0 ＝ 1/ℵ1 ＝ 1/ℵ2  矛盾

   矛盾！！！

   】

   事实上，追根溯源，其实类似的矛盾也不是现在发现的，早在300年前就爆发了。1734年，英国大主教贝克莱发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家。其中审查现代分析的对象、原则与推断是否比之宗教的神秘与教条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书，对当时的微积分学说进行了猛烈的抨击。他说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的流数实际上是0/0,是“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”，这是因为错误互相抵偿的缘故。 在数学史上，这称之为“贝克莱悖论”。这一悖论的发现，在当时引起了一定的思想混乱，导致了数学史上的第二次危机，引起了持续200多年的微积分基础理论的争论。贝克莱攻击“无穷小”，是一个思想方法问题。因为数学要按照形式逻辑的不矛盾律来思维，不能在同一思维过程中既承认不等于零，又承认等于零。

   在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？

   无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。自其爆发开始直到二十一世纪，始终都存在着不同意见。著名的数学家欧拉就坚持认为在求导数的运算中,其结果应该是0/0。他举例说,如果计算地球的数值,则一颗灰尘、甚至成千上万颗灰尘的误差都是可以忽略的。但是在微积分的运算中,“几何的严格性要求连这样小的误差也不能有。”

    其后，数学家用ε－δ极限定义微积分中无穷小量的问题，其实这也仍然会产生明显的逻辑混乱。

    比如，我们在2.6 超越数章节提到过：“正常地球人的惯常思维，认为无限不循环小数（无理数），当然是无限循环小数（有理数）的无穷次递归逼近得到的”，按照ε－δ极限定义就是这样的啊！

    但是，康托尔不可辩驳地证明了不可列数比可列数要多得多,也就是说有理数无法通过无穷次递归逼近得到无理数。这显然与ε－δ极限定义相违背。

   究其根本。因为ε－δ定义极限逼近的方式，如果不考虑‘可列无穷小量’（1/ℵ0）和‘不可列无穷小量’（1/ℵ1）的本质区别，显然谬误。并且，即使剔除离散空间的可列无穷小量的误导，ε－δ极限逻辑中的所谓稠密性，逻辑含义也不准确。因为没有考虑连续实数空间1/ℵ1阶无穷小量、与更加稠密的阿列夫2空间的1/ℵ2阶无穷小量区别。如果考虑到存在阿列夫2阶的稠密性，ε－δ极限定义显然不严密。

    相对于阿列夫2维高阶张量,连续无穷维线性空间的“不动点定理”是失效的，也就是说ε－δ定义下的柯西收敛与“不确定性原理”无法自洽。

   无穷小（也就是‘1/ℵ0’、‘1/ℵ1’、‘1/ℵ2’ 。。。）到底是不是零，是数学最大最可怕的危机。

   糟透了，可怜的学究数学泪流满面、无言以对、面临崩溃、精神分裂。

   除非。。。。。。