6.2 差之毫厘失之千里

   收敛性是我们研究系统问题的关键，但遗憾是收敛性却并不普遍，很多乍看收敛的现象往往并不收敛。

   有一个奇怪的图画，图形有7个人：

　　如果我们把图形分成3块，把第1块和第2块互调一下，得到一个新的图形

　　再数一下新图形中的人数，惊奇地发现，居然变成了8个人，比变换图形前多了一个人？

　　为什么呢？貌似我们只是把其中子图形调换了个位置，并没有用笔添加什么，怎么会无端多出来一个人呢？

　　鬼魅。。。

　　仔细再仔细看，终于发现其中奥秘。

   其实上下两个图形中的人形稍有不同（不仔细观看还真不容易发现），下面的图中人形比上面图中的人的身高稍微矮了点。

   正因为下面图形中的人都变矮了一点点，7个人身上每个人都截出一点，所以拼出了第8个人。

   再看第二个例子：π = 4

   见下图

   任何人都知道，π不可能等于4 ，否则圆周率就不会是无理数了。

   那么，上面的图形错在哪里呢？

   如此这般一步步细化以后，貌似圆周和外面的包络线应该可以无限接近的，没错啊？

   语文口水话说多了也没有用，下面我们来数学量化推导一下，再看看谬误究竟出自何处。

   如图，引入一条边Z，与X、Y构成直角三角形

   在n次逼近操作后，切分小块仍然保留三角形关系 【否则(∑x＋∑y)就不等于4了】

   且：∑x = 4/2 , ∑y = 4/2

   相当于：x * 2^n = 4/2 , y * 2^n = 4/2

   则：(∑x＋∑y) － ∑z

   相当于：2^n[(x+y)-√（x^2 + y^2）]

          =2^n(x+y) - 2^n * √（x^2 + y^2）

          =4 - √[4^2 － （2^n)^2 *2xy]

          =4 - √[4^2 － 8]

          =1.172

          <> 0

   既然不等于0 ，就意味着(∑x＋∑y)与∑z不重合。也就是说圆周和其内外的包络线并不无限接近。

　一些扩充的说明：

　　（1）

　　上式中的近似运算可能不太严谨，严格说上式中的西格玛∑x应该是积分∫dx

　　算式 (∑x＋∑y) － ∑z 更准确的表达方式为∫dx ＋∫dy －∫dz

　　∫dx ＋∫dy －∫dz 的计算比较复杂，最后结果约等于0.86

　　(2)

　　其实本例证明无需更精确的积分求值，只要证明（2^n)^2 *2dx*dy <>0 即可

　　由于切分小块的dx×dy不是 （1/2^n）^2 的更高阶的无穷小，因此（2^n)^2 *2dxdy <>0

　　（3）

　　∑x = 4/2 , ∑y = 4/2

　　相当于：x * 2^n = 4/2 , y * 2^n = 4/2

　　这里的 x * 2^n = 4/2 中的 x 取∑x/2^n，即全部小块三角形边长x 的平均值

　　严格应写成： x平均值 * 2^n = 4/2

　　(4)

　　n→∞时，该正方形所形成的“曲线”跟圆不重合

　　可以证明，这样无限进行下去的话，当且仅当正方形曲线上任一点和圆心的距离无限接近R，圆周和外包络曲线重合

　　即：R方 = R圆 + h

　　（R方：正方形曲线上任一点和圆心的距离。R圆：半径。h：小三角形的高）

　　注意：即使无穷逼近后 h → 无穷小ε

　　如果最终 ε × 1/2^n 不等于0 ，也就是说ε不是 1/2^n 的更高阶的无穷小

　　那么，“曲线”跟圆不可能重合

　　上面图形中的事例在系统分析中是比较常见的，一群子系统中的非常细微的一点点误差汇集在一起，很可能造成“不可容忍的误差”，造成逻辑谬误。

　　差之毫厘失之千里

　　那么，如何评估避免不可容的误差的发生呢？