第六章 收敛与0

6.1 收敛性

　　1967年在国际权威的美国《科学》杂志上发表了一篇划进代的的论文《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》，文章作者Beonit Mandelbrot是一位当代美籍法国数学家和计算机专家，他的答案让所有人大吃一惊：英国的海岸线是不确定的。

　　英国的海岸线长度是不确定的？

　　伟大的大不列颠联合王国国民可能要骂娘了，你狗日的法国佬安的什么心？

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　　但是，论文的结论经过验证，居然是对的。

　　原来，海岸线长度依赖于测量时所用的尺度。

　　海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，形成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不规则。

　　假如你乘一架大飞机在10000m 的高空沿海岸线飞行测量拍摄海岸照片，然后计算这些照片显示的海岸总长度，其答案是否精确呢？否！因为，你在高空不分辨不了小海湾和小海峡的狭小曲折，只有近似拉直线。

　　如果你改乘一架小飞机在500m高处重复上述的拍摄和测量，你会发现许多原来没有看到的细部曲折，因为曲折的长度大于以前近似的直线，所以测量的长度就会大大超过上次的答数。

　　如果你在高空中，测量其长度时如以公里为单位，则几米到几百米的弯曲就会被忽略不能计入在内，设此时得长度L1；如果你的飞机降低高度，则可以用长度为10m的量规来测量海岸线的长度，那么那些在高空中看不清的拐弯处就会使海岸线长度变得更大，L2＞L1；假设你就在地面上，你改到长度为1m的量规，上面忽略了的弯曲都可计入，结果将继续增大，但仍有几厘米、几十厘米的弯曲被忽略,此时得出的长度L3＞L2＞L1；如此等等。

　　很显然，采用的量度越精密，海岸线就显露出更多的细节、出现更多的皱褶，所以获得的海岸线长度就越大。

　　可以设想，用分子、原子量级的尺度为单位时，测得的长度将是一个天文数字。进一步，伴随测量单位变得无穷小，海岸线长度会变得无穷大，因而测量值是不确定的！

　　海岸线并不是特例，就像下面这个花菜一样，凡是皱褶边界的图形都是类似的。海岸线长度这类问题后来成为混沌理论的一部份，这就是著名的分数维数之一，分形几何学。

　　海岸线长度问题引申出了一个有趣的现象，一个面积有限的图形，其边界长度有可能是无穷大！

　　有限的面积，无限的边界，究竟为什么呢？打击俺的自信心啊

　　在数学上，这其实是一个典型的无限级数的收敛现象。可以用西格玛来刻画（周长无穷大，面积却可能有限）：

     或积分来刻画（周长无穷大，面积却可能有限）：

　　关于无限收敛，还有一个著名的例子，叫做“人龟赛跑悖论”

　　【一只乌龟与一个人赛跑，乌龟在人的前面100米。乌龟的速度是一米每秒，人的速度是10米每秒。乌龟对人说：“虽然你比我快，但你永远也追不上我，因为当你就跑100米，跑到我的起点时，我已经前进了10米；当你再跑10米，到我的第二个位置时，我又向前跑了1米。。。。。。如此下去，每当你跑到我前一个位置时，我都会在你前面，所以你永远也追不上我”】

　　人龟赛跑悖论曾经困扰了智者数千年，直到无穷级数的出现，人类才严谨证明了无穷收敛的实质，真正认识到故事里无限和有限的内涵。

　　无限的级数收敛于有限的值，这是人类历史跨时代的突破，是数学漂亮的飞跃。

　   　无限级数、无限积分收敛于有限，已经是很了不起的思维革命了。

   我们知道，无限级数收敛是阿列夫0空间的概念；无限积分收敛是阿列夫1空间的概念。那么，有没有什么理论是关于阿列夫2空间中的无限收敛性的呢？

   有没有什么理论能够发现非级数收敛的、非积分收敛的、连续实数点空间中（阿列夫1空间）杂乱无章的某一群数据的更深层次内在规律性呢？

　  　如果有种手段能将空间折叠后的数据空间扩张到更广阔的空间，是不是能把原来隐含的结构信息释放，让我们能识别其原本的多重线性（或偏线性）关系呢？

   在有限维度空间中，我们通过对无理数√2的空间三角关系（勾股定理）的认识。可以通过空间折叠后一维直线上非线性的模平方关系，还原三角形三条边之间的空间线性关系。

   进一步，我们可不可以通过某种无穷维度张量，使其能在无限维空间进行扩展，还原维度折叠后变形的非线性关系，从而找到其原本的高维度完备空间的自然的多重线性关系呢？

　　如果有，是不是可以解决形式化数理逻辑（阿列夫0维度线性空间）面临的“不完备性”窘境呢？

　　如果能把阿列夫0维的逻辑（图灵机）扩张到阿列夫1维、阿列夫2维。。。，异常强悍的广义逻辑空间是不是有可能催生出超级智能的计算机呢？

　　随着新兴的傅立叶变换理论突飞猛进的进展，人们惊诧发现傅立叶变换可以实现从有限到无限的漂亮转身，可以突破非级数收敛的、非积分收敛的限制。因为信号在时空域和频域中不能同时集中在有限大的区域内，波粒二象性，这意味着有限的东东必然有无限的影子，任何小不点随时随地都有无穷大如影相随。另一方面，非级数收敛的非积分收敛的表面上杂乱无章的某一群数据，却可能在对偶域收敛，呈现内在的隐含规律性。

   比如，傅里叶分析中常常用到的sinc函数，如果对它进行傅里叶变化，会发现这个积分不收敛。

   但是，通过傅里叶变化定理，很容易知道sinc函数的傅里叶变换函数等于矩形函数。事实上，sinc函数和矩形函数这一傅里叶对偶函数，正是波粒二象性的经典例子。

   又比如在工程学和理论物理中广泛使用的冲激函数δ，它是非级数收敛的非积分收敛的，但是它在对偶域收敛。

  　这个定理初看起来平淡无奇，实际上却包含了天大的秘密！

   没有学习过傅里叶理论的朋友，可能因为陌生的数学符号对其中含义不甚了了。

   下面，类似于傅里叶分析，举一个生活中形象的例子（当然这个例子并非真正的傅里叶分析）。

   请一起来欣赏一段视频：http://www.56.com/w99/play_album-aid-11148317_vid-ODg4ODEyMzY.html

   这是美国作曲家Eric Whitacre组织史无前例的大规模网络合唱，第1次共有185名爱好者参与,第2次增加到1752人,第3次则吸引了来自73个国家的近四千名志愿者。

   恢宏的气势穿透了心灵，超震撼！

   更加震撼的是其中的主角们来自不同的国家、不同的地方、不同的人、不同的时间；他们有人是送外卖的、有人是百万富翁、有人年轻英俊、有人白发苍苍、有黑人、有亚洲人、有人喜爱冲浪、有人习惯宅家；一眼望去，各有不同；但是，在他们千奇百怪的脸面背后，却有灵魂深处的心心相惜、有心灵相通的深情共鸣；因为此，虽然他们从未谋面，却能汇集成为同一旋律。

   把千万数据源汇集成为同一声音。其中的秘密不仅仅是Eric Whitacre通过成员的嗓音特征细化各个声部、剪接合成每一个音频视频。更关键更本质的因素是，即使时空域非级数收敛的非积分收敛的千差万别的个体、如果其频域步调节奏一致，则在对偶域会体现另一种非传统意义的“收敛属性”。

   表面上毫不相干的各有个性迥异的一群人，却可能因为共同的音乐潜质，呈现其内在的隐含的更深层次的同一个性气质。

   这个意义超震撼。